Версия для печати
Убрать все задачи

---

В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из k цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если
  а)  k = 7;   б)  k = 10.

   Решение

---

Даны 15 целых чисел, среди которых нет одинаковых. Петя записал на доску все возможные суммы по 7 из этих чисел, а Вася – все возможные суммы по 8 из этих чисел. Могло ли случиться, что они выписали на доску одни и те же наборы чисел? (Если какое-то число повторяется несколько раз в наборе у Пети, то и у Васи оно должно повторяться столько же раз.)

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки опишите около данной окружности ромб с данным углом.

   Решение

---

Решить в целых числах уравнение  ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c = 1.

   Решение

---

Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. ( Изотомическими прямыми треугольника $ABC$ называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми $BC$, $CA$, $AB$ симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника.)

   Решение

---

Известно, что уравнение  x⁴ + ax³ + 2x² + bx + 1 = 0  имеет действительный корень. Докажите неравенство  a² + b² ≥ 8.

   Решение

---

Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.

   Решение

---

Докажите, что число
  а)  97⁹⁷,
  б)  1997¹⁷
нельзя представить в виде суммы кубов нескольких идущих подряд натуральных чисел.

   Решение

---

Докажите, что если

то один из углов треугольника ABC равен 60^o.

   Решение

---

Докажите, что  16Rr - 5r² p² 4R² + 4Rr + 3r².

   Решение

Тема:    [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что  16Rr - 5r² p² 4R² + 4Rr + 3r².

Решение

Пусть a, b и c — длины сторон треугольника,  F = (a - b)(b - c)(c - a) = A - B, где  A = ab² + bc² + ca² и  B = a²b + b²c + c²a. Докажем, что требуемые неравенства можно получить, преобразовав очевидное неравенство F² 0. Пусть  = a + b + c = 2p, = ab + bc + ca = r² + p² + 4rR и  = abc = 4prR (см. задачу 12.30). Можно проверить, что  F² = - 4 - 4 + 18 - 27. В самом деле,  ()² - F² = (A + B + 3abc)² - (A - B)² = 4AB + 6(A + B) + 9 = 4(a³b³ + ...) + 4(a⁴bc + ...) + 6(A + B) + 21. Ясно также, что  4 = 4(a³b³ + ...) + 12(A + B) + 24, 4 = 4(a⁴bc + ...) + 12(A + B) + 24 и  18 = 18(A + B) + 54.
Выразив  , и  через p, r и R, получим

Следовательно, получаем

и

Источники и прецеденты использования