Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Решите систему:
Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что XA·BC = XB·AC = XC·AB; I1, I2, I3 – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI1, BI2 и CI3 пересекаются в одной точке.
Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x и y так, чтобы выполнялось неравенство
Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа n лежит на отрезке
На сторонах AB, BC, CD и DA вписанного четырёхугольника ABCD, длины которых равны a, b, c и d, внешним образом построены прямоугольники размером a×с, b×d, с×a и d×b. Докажите, что их центры являются вершинами прямоугольника.
Для каждого натурального n > 1 существует такое число cn, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа x + π/n, синуса числа
x + 2π/n, ..., наконец, синуса числа x + (n – 1)π/n равно произведению числа cn на синус числа nx. Докажите это и найдите величину cn.
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна h.
Какую наименьшую длину может иметь медиана, проведённая из вершины большего острого угла?
Сумма восьми чисел равна 4/3. Оказалось, что сумма каждых семи чисел из этих восьми – положительна. Какое наименьшее целое значение может принимать наименьшее из данных чисел?
X – число, большее 2. Некто пишет на карточках числа: 1, X, X², X³, X4, ..., Xk (каждое число только на одной карточке). Потом часть карточек он кладёт себе в правый карман, часть в левый, остальные выбрасывает. Докажите, что сумма чисел в правом кармане не может быть равна сумме чисел в левом.
Отрезки AA1 , BB1 и CC1 , концы которых лежат на сфере радиуса 10, попарно перпендикулярны и пересекаются в точке M . Известно, что AA1=12 , BB1 =18 и CM:MC1=11:3 . Найдите расстояние от центра сферы до точки M,
Постройте четырёхугольник ABCD по четырём сторонам, если известно, что его диагональ AC является биссектрисой угла A.
Докажите, что
а)
S3 (
/4)3(abc)2;
б)
3hahbhc 43
3rarbrc.
|
|
 |
Условие
Докажите, что
а)
S3 (
/4)3(abc)2;
б)
3hahbhc 43
3rarbrc.
Решение
а) Перемножив три равенства вида
S = (ab sin)/2,
получим
S3 = ((abc)2sin
sin
sin
)/8. Остается
воспользоваться результатом задачи 10.41.
б) Так как
(hahbhc)2 = (2S)6/(abc)2 и
(abc)2 (4/
)3S3, то
(hahbhc)2
(2S)6(
/4)3/S3 = (
S)3.
Так как
(rarbrc)2 = S4/r2 (задача 12.18, в)
и
r2()3
S (задача 10.53, а)),
то
(rarbrc)2
(
S)3.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 10 |
| Название | Неравенства для элементов треугольника |
| Тема | Неравенства для элементов треугольника. |
| параграф | |
| Номер | 8 |
| Название | Неравенства для площади треугольника |
| Тема | Неравенства для площади треугольника |
| задача | |
| Номер | 10.055 |
