Версия для печати
Убрать все задачи

---

В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из k цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если
  а)  k = 7;   б)  k = 10.

   Решение

---

Даны 15 целых чисел, среди которых нет одинаковых. Петя записал на доску все возможные суммы по 7 из этих чисел, а Вася – все возможные суммы по 8 из этих чисел. Могло ли случиться, что они выписали на доску одни и те же наборы чисел? (Если какое-то число повторяется несколько раз в наборе у Пети, то и у Васи оно должно повторяться столько же раз.)

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки опишите около данной окружности ромб с данным углом.

   Решение

---

Решить в целых числах уравнение  ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c = 1.

   Решение

---

Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. ( Изотомическими прямыми треугольника $ABC$ называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми $BC$, $CA$, $AB$ симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника.)

   Решение

---

Известно, что уравнение  x⁴ + ax³ + 2x² + bx + 1 = 0  имеет действительный корень. Докажите неравенство  a² + b² ≥ 8.

   Решение

---

Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.

   Решение

---

Докажите, что число
  а)  97⁹⁷,
  б)  1997¹⁷
нельзя представить в виде суммы кубов нескольких идущих подряд натуральных чисел.

   Решение

---

Докажите, что если

то один из углов треугольника ABC равен 60^o.

   Решение

Тема:    [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]

Сложность: 5+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если

то один из углов треугольника ABC равен 60^o.

Решение

Согласно теореме синусов sin + sin + sin = p/r. Согласно задаче 12.38 cos + cos + cos = . Поэтому приведённое в условии задачи соотношение можно переписать следующим образом: p = (R + r)/. Для = 60^o имеем (R + r) = 2R sin + rctg(/2). Остаётся воспользоваться результатом задачи 12.29 б).

Источники и прецеденты использования