Собралось n человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.

   Решение

Докажите, что нетождественное проективное преобразование прямой имеет не более двух неподвижных точек.

   Решение

Докажите, что касающиеся окружности (окружность и прямая) переходят при инверсии в касающиеся окружности или в окружность и прямую, или в пару параллельных прямых.

   Решение

Даны середины трех равных сторон выпуклого четырехугольника. Постройте этот четырехугольник.

   Решение

Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр – простое число.
Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?

   Решение

Дан треугольник ABC. Построены четыре окружности равного радиуса  так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите , если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны r и R соответственно.

   Решение

Среди всех таких чисел n, что любой выпуклый 100-угольник можно представить в виде пересечения (т. е. общей части) n треугольников, найдите наименьшее.

   Решение

Тема:    [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Среди всех таких чисел n, что любой выпуклый 100-угольник можно представить в виде пересечения (т. е. общей части) n треугольников, найдите наименьшее.

Решение

Заметим сначала, что 50 треугольников достаточно. В самом деле, пусть  — треугольник, стороны которого лежат на лучах A_kA_{k - 1} и  A_kA_{k + 1} и который содержит выпуклый многоугольник A₁...A₁₀₀. Тогда этот многоугольник является пересечением треугольников , ,..., . С другой стороны, 100-угольник, изображенный на рис., нельзя представить в виде пересечения менее чем 50 треугольников. В самом деле, если три его стороны лежат на сторонах одного треугольника, то одна из этих сторон — сторона A₁A₂. Все стороны этого многоугольника лежат на сторонах n треугольников, поэтому 2n + 1100, т. е. n50.

Источники и прецеденты использования