Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что если a, b, c и d — длины последовательных сторон выпуклого четырехугольника ABCD, а m и n — длины его диагоналей, то m²n² = a²c² + b²d² - 2abcd cos(A + C) (Бретшнейдер).

   Решение

---

В призму ABCA'B'C' вписана сфера, касающаяся боковых граней BCC'B', CAA'C, ABB'A' в точках A₀, B₀, C₀ соответственно. При этом
∠A₀BB' = ∠B₀CC' = ∠C₀AA'.
  а) Чему могут равняться эти углы?
  б) Докажите, что отрезки AA₀, BB₀, CC₀ пересекаются в одной точке.
  в) Докажите, что проекции центра сферы на прямые A'B', B'C', C'A' образуют правильный треугольник.

   Решение

---

24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что
  а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;
  б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".

   Решение

---

Во вписанном четырёхугольнике ABCD прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника BCD. Докажите, что прямая Симсона точки B относительно треугольника ACD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника ACD.

   Решение

Темы:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ] [ Прямая Симсона ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Во вписанном четырёхугольнике ABCD прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника BCD. Докажите, что прямая Симсона точки B относительно треугольника ACD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника ACD.

Решение

Достаточно рассмотреть случай, когда точкам A, B, C, D соответствуют комплексные числа a, b, c, d, лежащие на единичной окружности с центром в нуле. Согласно задаче 29.24B основаниями перпендикуляров, опущенных из точки A на прямые BC и CD, являются точки x = (a + b + c - bc) и y = (a + c + d - cd ). Направление прямой Симсона точки A относительно треугольника BCD задаётся числом 2(x - y) = (1 - c)(b - d )= (a - c)(b - d ). Направление прямой Эйлера треугольника BCD задаётся числом b + c + d. Эти две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда число чисто мнимое, т. е.

Это равенство после сокращений приводится к следующему симметричному виду: ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0.

Источники и прецеденты использования