Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдите геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных прямых имеет данную величину.

   Решение

---

Углы треугольника равны α, β и γ, а периметр равен P. Найдите стороны треугольника.

   Решение

---

Длины сторон параллелограмма равны a и b, длины диагоналей — m и n. Докажите, что  a⁴ + b⁴ = m²n² тогда и только тогда, когда острый угол параллелограмма равен  45^o.

   Решение

---

В треугольнике ABC угол B равен 60^o, биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что OD = OE.

   Решение

---

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и точке, в которой её касается вписанная окружность.

   Решение

---

Докажите, что предельная точка пучка является общей точкой окружностей ортогонального пучка, и наоборот.

   Решение

---

Основание наклонной призмы – равносторонний треугольник со стороной a . Одно из боковых рёбер равно b и образует с прилежащими сторонами основания углы 45^o . Найдите боковую поверхность призмы.

   Решение

---

Дан не равносторонний треугольник ABC. Точки A₁, B₁ и C₁ выбраны так, что треугольники BA₁C, CB₁A и AC₁B собственно подобны. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ равносторонний тогда и только тогда, когда указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом 120^o при вершинах A₁, B₁ и C₁.

   Решение

Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Дан не равносторонний треугольник ABC. Точки A₁, B₁ и C₁ выбраны так, что треугольники BA₁C, CB₁A и AC₁B собственно подобны. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ равносторонний тогда и только тогда, когда указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом 120^o при вершинах A₁, B₁ и C₁.

Решение

Пусть точки A, B, C, A₁, B₁ и C₁ соответствуют комплексным числам a, b, c, a₁, b₁ и c₁. Из того, что треугольники BA₁C, CB₁A и AC₁B собственно подобны, следует, что a₁ = b + (c - b)z, b₁ = c + (a - c)z и c₁ = a + (b - a)z для некоторого комплексного числа z. Поэтому

Согласно задаче 29.26B б) треугольник A₁B₁C₁ равносторонний тогда и только тогда, когда выражение в левой части этого равенства обращается в нуль. Треугольник ABC не равносторонний, поэтому обращаться в нуль должно выражение 3z² - 3z + 1. Для равнобедренного треугольника с углом 120^o имеем z₀ = ±. Легко проверить, что z₀² - z₀ = - . (Разные знаки в выражении для z₀ соответствуют треугольникам, построенным на сторонах треугольника внешним и внутренним образом.)

Источники и прецеденты использования