Из 16 плиток размером 1×3 и одной плитки 1×1 сложили квадрат со стороной 7. Докажите, что плитка 1×1 лежит в центре квадрата или примыкает к его границе.

   Решение

Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.

   Решение

Квадрат разделен на четыре части двумя перпендикулярными прямыми, точка пересечения которых лежит внутри его. Докажите, что если площади трех из этих частей равны, то равны и площади всех четырех частей.

   Решение

Докажите, что  l_a .

   Решение

В центре каждой клетки шахматной доски стоит по фишке. Фишки переставили так, что попарные расстояния между ними не уменьшились. Докажите, что в действительности попарные расстояния не изменились.

   Решение

На плоскости дана окружность и не пересекающая ее прямая. Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а данную прямую — в бесконечно удаленную прямую.

   Решение

Тема:    [ Проективные преобразования плоскости ]

Сложность: 7 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

На плоскости дана окружность и не пересекающая ее прямая. Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а данную прямую — в бесконечно удаленную прямую.

Решение

Рассмотрим на координатной плоскости Oxz точки O(0, 0), N(0, 1), E(1, 0). Для произвольной точки M, лежащей на дуге NE единичной окружности, обозначим через P пересечение отрезка EM с прямой z = 1. Ясно, что двигая точку M по дуге NE, мы можем сделать отношение EM : MP равным произвольному числу. Поэтому преобразованием подобия данную окружность S можно перевести в окружность S₁, построенную на отрезке EM как на диаметре в плоскости , перпендикулярной Oxz, так, чтобы данная прямая l перешла в прямую, проходящую через P перпендикулярно Oxz. Окружность S₁ лежит на единичной сфере с центром в начале координат, следовательно, при стереографической проекции она проецируется в окружность S₂ на плоскости Oxy. Таким образом, при центральном проектировании плоскости  на плоскость Oxy из N окружность S₁ перейдет в S₂, а прямая l — в бесконечно удаленную.

Источники и прецеденты использования