Информация о задаче

Выбрано 13 задач

Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A₁...A_n и соединена отрезками с вершинами. Стороны n-угольника нумеруются числами от 1 до n, разные стороны нумеруются разными числами. То же самое делается с отрезками OA₁, ..., OA_n.
а) При n = 9 найти нумерацию, при которой сумма номеров сторон для всех треугольников A₁OA₂, ..., A_nOA₁ одинакова.
б) Доказать, что при n = 10 такой нумерации осуществить нельзя.

Решение

Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие одинаковое число друзей (из этой компании).

Решение

Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены в два цвета. Докажите, что существуют две горизонтальные и две вертикальные прямые, на пересечении которых лежат точки одного цвета.

Решение

Точки A и B движутся по двум фиксированным лучам с общим началом O так, что величина ${\frac{p}{OA}}$ + ${\frac{q}{OB}}$ остается постоянной. Докажите, что прямая AB при этом проходит через фиксированную точку.

Решение

Автор: Канель-Белов А.Я.

На клетчатой доске 5×5 расставили максимальное число шахматных коней так, чтобы они не били друг друга.
Докажите, что такая расстановка единственна.

Решение

Даны две точки A и B и окружность. Найти на окружности точку X так, чтобы прямые AX и BX отсекли на окружности хорду CD, параллельную данной прямой MN.

Решение

Многоугольник M' гомотетичен многоугольнику M с коэффициентом гомотетии -1/2. Докажите, что существует параллельный перенос, переводящий многоугольник M' внутрь многоугольника M.

Решение

Пусть характеристическое уравнение (11.3) последовательности {a_n} имеет корень x₀ кратности 2. Докажите, что при фиксированных a₀, a₁ существует ровно одна пара чисел c₁, c₂ такая, что

a_n = (c₁ + c₂n)x₀ⁿ (n = 0, 1, 2,...).

Решение

На сторонах треугольника ABC как на основаниях построены подобные равнобедренные треугольники AB₁С и AC₁B внешним образом и BA₁C внутренним образом. Докажите, что AB₁A₁C₁ – параллелограмм.

Решение

Докажите, что точка X лежит на прямой AB тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{OX}$ = t $\overrightarrow{OA}$ + (1 - t) $\overrightarrow{OB}$ для некоторого t и любой точки O.

Решение

Автор: Мурашкин М.В.

Дан правильный 12-угольник A₁A₂...A₁₂.
Можно ли из 12 векторов выбрать семь, сумма которых равна нулевому вектору?

Решение

На доске написаны числа
а) 1, 2, 3, ..., 2003;
б) 1, 2, 3, ..., 2005.
Разрешается стереть два любых числа и вместо них написать их разность. Можно ли добиться того, чтобы все числа стали нулями?

Решение

Сколькими способами можно выбрать четырёх человек на четыре различные должности, если имеется девять кандидатов на эти должности?

Решение

Условие

Ответ

Источники и прецеденты использования