Из вершины A острого угла ромба ABCD опущены перпендикуляры AM и AN на продолжения сторон BC и CD. В четырёхугольник AMCN вписана окружность радиуса 1. Найдите сторону ромба, если BAC = 2arctg.

   Решение

Поставьте на плоскости 9 точек так, чтобы никакие 4 не лежали на одной прямой, но из любых шести нашлись 3, лежащие на одной прямой. (На рисунке проведите все прямые, на которых лежат по три отмеченные точки.)

   Решение

Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?

   Решение

Какое наибольшее число пятниц может быть в году?

   Решение

К окружности радиуса 36 проведена касательная из точки, удаленной от центра на расстояние, равное 85. Найдите длину касательной.

   Решение

В треугольнике ABC со сторонами  AB = 4,  AC = 6  проведена биссектриса угла A. На эту биссектрису опущен перпендикуляр BH.
Найдите MH, где M – середина BC.

   Решение

Существует ли такой невыпуклый многогранник, что из некоторой точки М, лежащей вне него, не видна ни одна из его вершин?
(Многогранник сделан из непрозрачного материала, так что сквозь него ничего не видно.)

   Решение

Может ли случиться, что шесть попарно непересекающихся параллелепипедов расположены в пространстве так, что из некоторой им не принадлежащей точки пространства не видно ни одной из их вершин? (Параллелепипеды непрозрачны.)

   Решение

Найдите цифры a и b, для которых   = 0,bbbbb...

   Решение

Темы:    [ Периодические и непериодические дроби ] [ Перебор случаев ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите цифры a и b, для которых   = 0,bbbbb...

Решение

Уравнение переписывается в виде  (^b/₉)² = ^a/₉,  то есть  b² = 9a.  Далее – перебор.

Ответ

(0, 0),  (1, 3),   (4, 6),   (9, 9).

Источники и прецеденты использования