z₂, z₁, z₀ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда     – вещественное число, или   = .

   Решение

Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений
    x² + y² + xy = a,
    x² – y² = b,
где а и b – некоторые данные действительные числа.

   Решение

В окружность радиуса 17 вписан четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны и находятся на расстоянии 8 и 9 от центра окружности. Найдите стороны четырёхугольника.

   Решение

Докажите, что при n 7 внутри выпуклого n-угольника найдется точка, сумма расстояний от которой до вершин больше периметра.

   Решение

Каждая из трёх окружностей радиуса r касается двух других. Найдите площадь фигуры, расположенной вне окружностей и ограниченной их дугами, заключёнными между точками касания.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана прямая, на которой лежит его сторона, и основания биссектрис, проведённых из концов этой стороны.

   Решение

Докажите, что для любых комплексных чисел z, w справедливо равенство  e^ze^w = e^z+w.

   Решение

В окружность радиуса 13 вписан четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Одна из диагоналей равна 18, а расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей равно  4.  Найдите площадь четырёхугольника.

   Решение

Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре, проходит через середину другой стороны. Докажите, что треугольник равнобедренный.

   Решение

При каких n многочлен  (x + 1)ⁿ – xⁿ – 1  делится на:
  а)  x² + x + 1;   б)  (x² + x + 1)²;   в) (x² + x + 1)³?

   Решение

Темы:    [ Комплексные числа помогают решить задачу ] [ Производная и кратные корни ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

При каких n многочлен  (x + 1)ⁿ – xⁿ – 1  делится на:
  а)  x² + x + 1;   б)  (x² + x + 1)²;   в) (x² + x + 1)³?

Решение

  Пусть  Q(x) = (x + 1)ⁿ – xⁿ – 1,  P(x) = x² + x + 1,  тогда  x + 1 ≡ – x²,  x³ ≡ 1 (mod P)  (сравнение многочленов аналогично сравнению чисел).

  а)  Q(x) ≡ (–1)ⁿx²ⁿ – xⁿ + 1 (mod P).  Разберем все возможные случаи.
  1)  n кратно 3. Тогда  (–1)ⁿx²ⁿ – xⁿ – 1 ≡ (–1)ⁿ – 2 (mod P).
  2)  n ≡ 1 (mod 6).  Тогда  (–1)ⁿx²ⁿ – xⁿ – 1 ≡ – x² – x – 1 ≡ 0 (mod P).
  3)  n ≡ 2 (mod 6).  Тогда  (–1)ⁿx²ⁿ – xⁿ – 1 ≡ x – x² – 1 ≡ 2x (mod P).
  4)  n ≡ 4 (mod 6).  Тогда  (–1)ⁿx²ⁿ – xⁿ – 1 ≡ x² – x – 1 ≡ – 2x – 2 (mod P).
  5)  n ≡ 5 (mod 6).  Тогда  (–1)ⁿx²ⁿ – xⁿ – 1 ≡ – x – x² – 1 ≡ 0 (mod P).
  Таким образом, Q делится на P при  n ≡ 1, 5 (mod 6).  В частности, n нечётно.

  б) Как и в задаче 61139, достаточно проверить, делится ли Q' на P.  Q'(x) = n(x + 1)^n–1 – nx^n–1 ≡ n(x^2n–2 – x^n–1) (mod P).
  При  n ≡ 1 (mod 3)   x^2n–2 – x^n–1 ≡ 1 – 1 = 0 (mod P).
  При  n ≡ 2 (mod 3)   x^2n–2 – x^n–1 ≡ x² – x ≡ – 2x – 1 (mod P).
  Таким образом, Q делится на P² при  n ≡ 1 (mod 6).

  в)  Q" = n(n – 1)((x + 1)^n–2 – x^n–2} ≡ – n(n – 1)(x^2n–4 + x^n–2) ≡ – n(n – 1)(x + x²) ≡ n(n – 1) (mod P).
  Таким образом, Q делится на P³ только при  n = 1.  И действительно, при этом многочлен Q обращается в ноль.

Ответ

При  а) n = 6k ± 1;   б)  n = 6k + 1;   в)  n = 1.

Источники и прецеденты использования