Ладья, делая ходы по вертикали и горизонтали на соседнее поле, за 64 хода обошла все поля шахматной доски 8×8 и вернулась на исходное поле. Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.

   Решение

200 учеников выстроены прямоугольником по 10 человек в каждом поперечном ряду и по 20 человек в каждом продольном ряду. В каждом продольном ряду выбран самый высокий ученик, а затем из отобранных 10 человек выбран самый низкий. С другой стороны, в каждом поперечном ряду выбран самый низкий ученик, а затем среди отобранных 20 выбран самый высокий. Кто из двоих окажется выше?

   Решение

Докажите, что корень a многочлена P(x) имеет кратность больше 1 тогда и только тогда, когда  P(a) = 0  и  P'(a) = 0.

   Решение

Можно ли подобрать два многочлена P(x) и Q(x) с целыми коэффициентами так, что  P – Q,  P и  P + Q  – квадраты некоторых многочленов (причём Q не получается умножением P на число)?

   Решение

Темы:    [ Раскладки и разбиения ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На доске написано n натуральных чисел. Пусть a_k – количество тех из них, которые больше k. Исходные числа стерли и вместо них написали все положительные a_k. Докажите, что если с новыми числами сделать то же самое, то на доске окажется исходный набор чисел.
Например, для чисел 5, 3, 3, 2, получается следующая цепочка   (5, 3, 3, 2)  →  (4, 4, 3, 1, 1)  →  (5, 3, 3, 2).

Подсказка

Проследите за изменением диаграммы Юнга.

Решение

См. задачу 98424.

Источники и прецеденты использования