Версия для печати
Убрать все задачи

---

В кабинете министров Анчурии 100 министров. Среди них есть жулики и честные министры. Известно, что из любых десяти министров по крайней мере один министр – жулик. Какое наименьшее число министров-жуликов может быть в кабинете?

   Решение

---

Семь монет расположены по кругу. Известно, что какие-то четыре из них, идущие подряд, – фальшивые и что каждая фальшивая монета легче настоящей. Объясните, как найти две фальшивые монеты за одно взвешивание на чашечных весах без гирь. (Все фальшивые монеты весят одинаково.)

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Радикальная ось ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и BQ, а также медиана CM. Точка R – середина CM. Прямая PQ пересекает прямую AB в точке T. Докажите, что  OR⊥TC,  где O – центр описанной окружности треугольника ABC.

Решение 1

  Пусть H – ортоцентр треугольника, O₁ – середина CH (см. рис.).
  OM || CH  и, как известно,  OM = ½ CH = O₁C  (см. например, решение задачи 55595). Значит, MOCO₁ – параллелограмм, а R – точка пересечения его диагоналей, то есть – середина отрезка OO₁.

  Рассмотрим описанные окружности Ω и Ω₁ треугольников ABC и PQC, а также окружность Ω₂ с диаметром AB. Заметим, что AB – радикальная ось Ω и Ω₁, а PQ – радикальная ось Ω₁ и Ω₂. Эти радикальные оси пересекаются в точке T – радикальном центре этих трёх окружностей. Следовательно CT – радикальная ось Ω и Ω₁ и перпендикулярна их линии центров OO₁, что и требовалось.

Решение 2

  Проведём высоту CL (рис. слева). Заметим, что R – центр описанной окружности прямоугольного треугольника CLM. Докажем, что TC – радикальная ось описанных окружностей треугольников ABC и CLM. Тогда она перпендикулярна линии центров этих окружностей, то есть прямой OR, что и требуется.

  Точка C лежит на радикальной оси этих окружностей, как одна из точек пересечения. Осталось доказать, что степени точки T относительно этих окружностей равны.
  Для этого рассмотрим окружность Эйлера треугольника ABC (она содержит точки P, Q, L и M, см. задачу 52511) и окружность, описанную вокруг четырёхугольника AQPB (рис. справа). Имеем  TL·TM = TP·TQ = TB·TA.

Источники и прецеденты использования