Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Внутри треугольника ABC взята такая точка O, что  ∠ABO = ∠CAO,  ∠BAO = ∠BCO,  ∠BOC = 90°.  Найдите отношение  AC : OC.

Вниз   Решение


Восстановите треугольник ABC по прямым lb и lc, содержащим биссектрисы углов B и C, и основанию биссектрисы угла A – точке L1.

ВверхВниз   Решение


Улитке нужно забраться на дерево высотой 10 метров. За день она поднимается на 4 метра, а за ночь сползает на 3.
Когда она доползет до цели, если стартовала улитка утром в понедельник?

ВверхВниз   Решение


Остроугольный треугольник ABC  (AB < AC)  вписан в окружность Ω. Пусть M – точка пересечения его медиан, а AH – высота. Луч MH пересекает Ω в точке A'. Докажите, что описанная окружность треугольника A'HB касается прямой AB.

ВверхВниз   Решение


Автор: Ивлев Б.М.

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

ВверхВниз   Решение


Автор: Ивлев Б.М.

Для любого натурального числа n существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2n. Докажите это.
(Например, на 2 делится 2, на 4 делится 12, на 8 делится 112, на 16 делится 2112...)

ВверхВниз   Решение


Автор: Mahdi Etesami Fard

Ортоцентр H треугольника ABC лежит на вписанной в треугольник окружности.
Докажите, что три окружности с центрами A, B, C, проходящие через H, имеют общую касательную.

ВверхВниз   Решение


Биссектрисы AA1,BB1,CC1 треугольника ABC пересекаются в точке I. Серединный перпендикуляр к отрезку BB1 пересекает прямые AA1, CC1 в точках A0, C0. Докажите, что описанные окружности треугольников A0IC0 и ABC касаются.

ВверхВниз   Решение


Марина купила тур в Банановую страну с 5 по 22 октября. Ввозить и вывозить бананы через границу запрещено. Банановый король в начале каждого месяца издаёт указ о ценах. Цена одного банана в местной валюте на нужные числа октября приведена в таблице:

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
8,1 8 7 8,1 9 8 8,1 7,2 7 8 9 8,1 9 8 9 8,2 7 7,1

Марина хочет ежедневно съедать по одному банану. Она любит только зелёные бананы, поэтому согласна съесть банан только в течение 4 дней после покупки. Например, банан, купленный 5 октября, Марина согласна съесть 5, 6, 7 или 8 октября. Марина может запасаться бананами, когда они подешевле.

В какие дни по сколько бананов надо покупать Марине, чтобы потратить как можно меньше денег?

ВверхВниз   Решение


Автор: Ильясов С.

В треугольник ABC вписана окружность ω с центром в точке I. Около треугольника AIB описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в точках X и Y. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке Z. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ, касаются.

Вверх   Решение

Задача 64366
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Автор: Ильясов С.

В треугольник ABC вписана окружность ω с центром в точке I. Около треугольника AIB описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в точках X и Y. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке Z. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ, касаются.


Решение

  Пусть биссектриса CI повторно пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC в точке S. Тогда точка S – центр окружности Г (см. задачу 53119). Из симметрии точка Z лежит на прямой SC.
  Пусть общие касательные к окружностям ω и Г касаются Г в точках M и N (см. рис.). Линия центров SI является серединным перпендикуляром к отрезку MN, а прямая MZ касается Г, то  ∠IMN = ∠INM = ∠IMZ.  Значит, MI – биссектриса угла ZMN, то есть расстояния от I до ZM и MN равны. Поскольку ω касается ZM, она также касается прямой MN в некоторой точке Z'; из симметрии, эта точка лежит на SI.

  Из прямоугольного треугольника SMZ получаем  SZ·SZ' = SM2  (см. задачу 56452). Это означает, что при инверсии относительно окружности Г точка Z' перейдёт в точку Z. Значит, окружность ω, содержащая точки X, Y и Z', перейдёт в описанную окружность треугольника XYZ. При этой инверсии прямая AB переходит в окружность Ω. Поскольку ω и AB касаются, их образы также будут касаться, что и требовалось.

Замечания

Другое решение можно получить, сделав инверсию относительно окружности ω. При этой инверсии: точки A, B, C переходят в середины
A", B", C" сторон B'C', C'A', A'B' треугольника с вершинами в точках касания ω со сторонами треугольника ABC; окружность Г переходит
в прямую XY, которая содержит среднюю линию A"B" треугольника A'B'C'; описанная окружность треугольника XYZ переходит
в окружность ω', симметричную ω относительно XY. Значит, надо доказать, что ω' касается описанной окружности треугольника A"B"C".
А это верно, поскольку при симметрии относительно XY последняя окружность переходит в описанную окружность треугольника A"B"C", которая касается ω.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2012-2013
этап
Вариант 4
класс
1
Класс 11
задача
Номер 11.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .