ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Внутри треугольника ABC взята такая точка O, что ∠ABO = ∠CAO, ∠BAO = ∠BCO, ∠BOC = 90°. Найдите отношение AC : OC. Восстановите треугольник ABC по прямым lb и lc, содержащим биссектрисы углов B и C, и основанию биссектрисы угла A – точке L1. Улитке нужно забраться на дерево высотой 10 метров. За день она поднимается на 4 метра, а за ночь сползает на 3. Остроугольный треугольник ABC (AB < AC) вписан в окружность Ω. Пусть M – точка пересечения его медиан, а AH – высота. Луч MH пересекает Ω в точке A'. Докажите, что описанная окружность треугольника A'HB касается прямой AB. Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как Для любого натурального числа n существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2n. Докажите это. Ортоцентр H треугольника ABC лежит на вписанной в треугольник окружности. Биссектрисы AA1,BB1,CC1 треугольника ABC пересекаются в точке I. Серединный перпендикуляр к отрезку BB1 пересекает прямые AA1, CC1 в точках A0, C0. Докажите, что описанные окружности треугольников A0IC0 и ABC касаются. Марина купила тур в Банановую страну с 5 по 22 октября. Ввозить и вывозить бананы через границу запрещено. Банановый король в начале каждого месяца издаёт указ о ценах. Цена одного банана в местной валюте на нужные числа октября приведена в таблице:
Марина хочет ежедневно съедать по одному банану. Она любит только зелёные бананы, поэтому согласна съесть банан только в течение 4 дней после покупки. Например, банан, купленный 5 октября, Марина согласна съесть 5, 6, 7 или 8 октября. Марина может запасаться бананами, когда они подешевле. В какие дни по сколько бананов надо покупать Марине, чтобы потратить как можно меньше денег? В треугольник ABC вписана окружность ω с центром в точке I. Около треугольника AIB описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в точках X и Y. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке Z. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ, касаются. |
Задача 64366
УсловиеВ треугольник ABC вписана окружность ω с центром в точке I. Около треугольника AIB описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в точках X и Y. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке Z. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ, касаются. Решение Пусть биссектриса CI повторно пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC в точке S. Тогда точка S – центр окружности Г (см. задачу 53119). Из симметрии точка Z лежит на прямой SC. Из прямоугольного треугольника SMZ получаем SZ·SZ' = SM2 (см. задачу 56452). Это означает, что при инверсии относительно окружности Г точка Z' перейдёт в точку Z. Значит, окружность ω, содержащая точки X, Y и Z', перейдёт в описанную окружность треугольника XYZ. При этой инверсии прямая AB переходит в окружность Ω. Поскольку ω и AB касаются, их образы также будут касаться, что и требовалось. ЗамечанияДругое решение можно получить, сделав инверсию относительно окружности ω. При этой инверсии: точки A, B, C переходят в середины Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке