В неравнобедренном треугольнике ABC проведены медианы AK и BL . Углы BAK и CBL равны 30^o . Найдите углы треугольника ABC .

   Решение

Через вершину A равностороннего треугольника ABC проведена прямая, не пересекающая отрезок BC. По разные стороны от точки A на этой прямой взяты точки M и N так, что  AM = AN = AB  (точка B внутри угла MAC). Докажите, что прямые AB, AC, BN, CM образуют вписанный четырёхугольник.

   Решение

Существуют ли такие десять попарно различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя
  а) ровно в шесть раз;
  б) ровно в пять раз?

   Решение

Пусть  P(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀  – многочлен с целыми коэффициентами.
Докажите, что хотя бы одно из чисел  |3ⁿ⁺¹ – P(n + 1)|,  ...,  |3¹ – P(1)|,  |1 – P(0)|  не меньше 1.

   Решение

Темы:    [ Многочлены (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть  P(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀  – многочлен с целыми коэффициентами.
Докажите, что хотя бы одно из чисел  |3ⁿ⁺¹ – P(n + 1)|,  ...,  |3¹ – P(1)|,  |1 – P(0)|  не меньше 1.

Решение

Пусть все эти числа меньше 1, то есть равны нулю. Тогда  P(k) = 3^k  при  k = 0, ..., n + 1.  Значит,  ΔP(k) = 3^k+1 – 3^k = 2·3^k = 2P(k)  при
k = 0, ..., n.  Следовательно,  Δ²P(k) = 2ΔP(k) = 2²P(k)  при  k = 0, ..., n  – 1,  Δ³P(k) = 2³P(k)  при  k = 0, ..., n – 2,  ...,
Δⁿ⁺¹P(0) = 2ⁿ⁺¹P(0) = 2ⁿ⁺¹.  Однако  Δⁿ⁺¹P ≡ 0  (см. задачу 61437). Противоречие.

Источники и прецеденты использования