Один из простейших многоклеточных организмов — водоросль вольвокс — представляет собой сферическую оболочку, сложенную, в основном, семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки). Бывают экземпляры, у которых есть и четырёхугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее чем с пятью и более чем с семью сторонами) нет, то пятиугольных клеток на 12 больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Не можете ли вы объяснить этот факт?

   Решение

Башенные часы отбивают три удара за 12 с. В течение какого времени они пробьют шесть ударов?

   Решение

Через точки R и E, принадлежащие сторонам AB и AD параллелограмма ABCD и такие, что  AR = ⅔ AB,  AE = ⅓ AD, проведена прямая.
Найдите отношение площади параллелограмма к площади полученного треугольника.

   Решение

Делится ли число  10²⁰⁰² + 8  на 9?

   Решение

На одной стороне острого угла даны точки A и B. Постройте на другой его стороне точку C, из которой отрезок AB виден под наибольшим углом.

   Решение

У выпуклого белого многогранника некоторые грани покрашены чёрной краской так, что никакие две чёрные грани не имеют общего ребра. Докажите, что если а) чёрных граней больше половины; б) сумма площадей чёрных граней больше суммы площадей белых граней, то в этот многогранник нельзя вписать шар.

   Решение

Дан куб с ребром 1. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до его вершин не меньше 4 .

   Решение

Постройте треугольник ABC по m_a, m_b и m_c.

   Решение

Малыш подарил Карлсону 111 конфет. Сколько-то из них они тут же съели вместе, 45% оставшихся конфет пошли Карлсону на обед, а треть конфет, оставшихся после обеда, нашла во время уборки фрёкен Бок. Сколько конфет она нашла?

   Решение

Выпуклый многоугольник разрезан на выпуклые семиугольники (так, что каждая сторона многоугольника является стороной одного из семиугольников). Докажите, что найдутся четыре соседние вершины многоугольника, принадлежащие одному семиугольнику.

   Решение

Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Средние величины ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Доказательство от противного ] [ Формула Эйлера. Эйлерова характеристика ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Выпуклый многоугольник разрезан на выпуклые семиугольники (так, что каждая сторона многоугольника является стороной одного из семиугольников). Докажите, что найдутся четыре соседние вершины многоугольника, принадлежащие одному семиугольнику.

Решение 1

Предположим, что N-угольник разрезан на несколько многоугольников (будем их называть малыми) так, что никакие четыре последовательные вершины не принадлежат одному многоугольнику. Тогда по меньшей мере каждый второй угол N-угольника разрезан одной из линий деления. Поэтому к каждым двум последовательным углам N-угольника прилегает не менее трёх углов малых многоугольников, и следовательно, среднее арифметическое этих прилегающих углов меньше 120°. Среднее арифметическое углов, прилегающих к каждой вершине внутри N-угольника, не больше 120° (равенство будет, только если в вершине сходится ровно три угла). Если же вершина одного малого многоугольника находится на стороне другого (малого или исходного) многоугольника, то среднее значение углов в этой вершине не превышает даже 90°. Отсюда следует, что и в целом среднее значение углов малых многоугольников меньше 120°. Но тогда они не могут все быть семиугольниками.

Решение 2

  Предположим, что существует разбиение, в котором никакие три идущие подряд стороны многоугольника не принадлежат одному семиугольнику.
  Натянем наш многоугольник на верхнюю полусферу так, чтобы контур многоугольника лежал на экваторе, построим симметричную ей относительно экваториальной плоскости карту на нижней полусфере, а затем все стороны, лежащие на экваторе, сотрём. В результате мы получили карту, в которой все страны имеют не менее 6 рёбер. Тогда  Р ≥ 3Г  (Γ – число стран, Р – число рёбер, В – число вершин). Так как в каждой вершине сходится не менее трёх рёбер, то  Р ≥ ³/₂ В.  Следовательно,  B – P + Γ ≤ ²/₃ Р – Р + ¹/₃ Р = 0,  что противоречит формуле Эйлера (см. задачу 60331).

Замечания

Как видно из решения 2, условие "каждая сторона многоугольника является стороной одного из семиугольников" несущественно. Решение 1 использует это условие, но можно обойтись и без него, более аккуратно вычисляя среднее значение углов малых многоугольников.

Источники и прецеденты использования