Выбрано 11 задач 
Убрать все задачи
На сторонах треугольника ABC внешним образом
построены квадраты с центрами P, Q и R. На сторонах
треугольника PQR внутренним образом построены квадраты.
Докажите, что их центры являются серединами сторон
треугольника ABC.
Петя вырезал из бумаги прямоугольник, положил на него такой же прямоугольник и склеил их по периметру. В верхнем прямоугольнике он провёл диагональ, опустил на неё перпендикуляры из двух оставшихся вершин, разрезал верхний прямоугольник по этим линиям и отогнул полученные треугольники во внешнюю сторону, так что вместе с нижним прямоугольником они образовали прямоугольник.
Как по полученному прямоугольнику восстановить исходный с помощью циркуля и линейки?
На числовой оси отмечено бесконечно много точек с натуральными координатами. Когда по оси катится колесо, каждая отмеченная точка, по которой проехало колесо, оставляет на нём точечный след. Докажите, что можно выбрать такое действительное $R$, что если прокатить по оси, начиная из нуля, колесо радиуса $R$, то на каждой дуге колеса величиной в $1^\circ$ будет след хотя бы одной отмеченной точки.
На витрине ювелирного магазина лежат 15 бриллиантов. Рядом с ними стоят таблички с указанием масс, на которых написано 1, 2, ..., 15 карат. У продавца есть чашечные весы и четыре гирьки массами 1, 2, 4 и 8 карат. Покупателю разрешается только один тип взвешиваний: положить один из бриллиантов на одну чашу весов, а гирьки — на другую и убедиться, что масса на соответствующей табличке указана верно. Однако за каждую взятую гирьку нужно заплатить продавцу 100 монет. Если гирька снимается с весов и в следующем взвешивании не участвует, продавец забирает её. Какую наименьшую сумму придётся заплатить, чтобы проверить массы всех бриллиантов?
В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. Прямая, проходящая через A, пересекает окружность в точках D и E. Хорда BX параллельна прямой DE. Докажите, что отрезок XC проходит через середину отрезка DE.
Дана окружность, её диаметр AB и точка C на этом диаметре. Постройте на окружности две точки X и Y, симметричные относительно диаметра AB, для которых прямая YC перпендикулярна прямой XA.
Числа a и b таковы, что первое уравнение системы
| { | sin x+a=bx |
| cos x=b |
имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.
Можно ли число 1/10 представить в виде произведения десяти положительных правильных дробей?
Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены точки $-a$ и $b$. Известно, что $a$ и $b$ — положительные числа, а их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая ближе к $-a$, то он прыгает вправо на расстояние, равное $a$. Если же он находится в середине отрезка $[-a;b]$ или в точке, которая ближе к $b$, то он прыгает влево на расстояние, равное $b$. Докажите, что независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент окажется от точки 0 на расстоянии, меньшем $10^{-6}$.
Перед Шариком лежит бесконечное число котлет, на каждой сидит по мухе. На каждом ходу Шарик последовательно делает две операции:
1) съедает какую-то котлету вместе со всеми сидящими на ней мухами;
2) пересаживает одну муху с одной котлеты на другую (на котлете может быть сколько угодно мух).
Шарик хочет съесть не более миллиона мух. Докажите, что он не может действовать так, чтобы каждая котлета была съедена на каком-то ходу.
В магазине в ряд висят 21 белая и 21 фиолетовая рубашка. Найдите такое минимальное k, что при любом изначальном порядке рубашек можно снять k белых и k фиолетовых рубашек так, чтобы оставшиеся белые рубашки висели подряд и оставшиеся фиолетовые рубашки тоже висели подряд.
|
|
 |
Условие
В магазине в ряд висят 21 белая и 21 фиолетовая рубашка. Найдите такое минимальное k, что при любом изначальном порядке рубашек можно снять k белых и k фиолетовых рубашек так, чтобы оставшиеся белые рубашки висели подряд и оставшиеся фиолетовые рубашки тоже висели подряд.
Решение
Сначала покажем, что k, равного 10, нам хватит.
Первый способ. Будем идти вдоль ряда рубашек и считать отдельно белые и фиолетовые рубашки. Как только мы насчитаем 11 одноцветных – допустим, без ограничения общности, фиолетовых – рубашек, остановимся. Теперь снимем все белые рубашки, которые мы прошли (их не больше 10), и все фиолетовые рубашки, до которых мы еще не дошли (их ровно 10). При необходимости снимем еще несколько белых рубашек. Очевидно, что все 11 фиолетовых рубашек висят подряд (все белые рубашки, висевшие между ними, мы сняли). Оставшиеся белые рубашки тоже висят подряд: все оставшиеся фиолетовые рубашки мы сняли.
Второй способ. Встанем между 21-й и 22-й рубашкой, тогда слева и справа будет по 21 рубашке. Не умаляя общности, можно считать, что слева белых рубашек не больше, чем фиолетовых. Тогда слева не больше чем 10 белых рубашек, а справа не больше чем 10 фиолетовых (потому что их должно быть столько же, сколько белых слева). Снимем все белые рубашки слева и все фиолетовые рубашки справа. После этого все оставшиеся фиолетовые рубашки будут висеть слева, а все оставшиеся белые – справа. Если мы сняли n < 10 рубашек какого-то цвета, то можно снять еще 10 – n рубашек этого цвета – выполнение желаемого условия от этого не нарушится.
Теперь покажем, что рубашки могут висеть так, что меньшего k нам может не хватить.
Пусть рубашки висят в следующем порядке: сначала 10 белых рубашек, затем 21 фиолетовая и затем еще 11 белых. В этом случае после снятия k < 10 рубашек каждого цвета первой и последней рубашкой будут белые. Следовательно, белые рубашки не будут идти подряд.
Ответ
k = 10.
Замечания
Подходит также любой пример, в котором среди первых 21 рубашки есть 10 белых и 11 фиолетовых, а среди последних – наоборот: 11 белых и 10 фиолетовых.
