Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Внутри треугольника ABC на биссектрисе угла A выбрана произвольная точка J. Лучи BJ и CJ пересекают стороны AC и AB в точках K и L соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника AKL в точке A пересекает прямую BC в точке P. Докажите, что PA=PJ.
У многочленов Р(х) и Q(х) – один и тот же набор целых коэффициентов (их порядок – различен).
Докажите, что разность Р(2015) – Q(2015) кратна 1007.
Две равные окружности касаются друг друга. Постройте такую трапецию, что каждая из окружностей касается трёх её сторон, а центры окружностей лежат на диагоналях трапеции.
В равнобедренном треугольнике ABC (AB=AC) проведена высота AA0. Окружность γ с центром в середине AA0 касается прямых AB и AC. Из точки X прямой BC проведены две касательные к γ. Докажите, что эти касательные высекают на прямых AB и AC равные отрезки.
Отрезок AD – диаметр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Через точку H пересечения высот этого треугольника провели прямую, параллельную стороне BC, которая пересекает стороны AB и AC в точках E и F соответственно.
Докажите, что периметр треугольника DEF в два раза больше стороны BC.
|
|
 |
Условие
Отрезок AD – диаметр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Через точку H пересечения высот этого треугольника провели прямую, параллельную стороне BC, которая пересекает стороны AB и AC в точках E и F соответственно.
Докажите, что периметр треугольника DEF в два раза больше стороны BC.
Решение
Пусть X и Y – точки пересечения прямых BD и CD с прямой EF (см. рис.). Как известно (см. задачу 108949), точки D и H симметричны относительно середины стороны BC. Отсюда следует, что BC – средняя линия треугольника XYD. Заметим, что углы ABD и ACD – прямые. Поэтому XE = DE,
YF = DF, и следовательно, DE + EF + DF = XE + EF + FY = XY = 2BC.
