Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В круг вписан правильный треугольник. Найдите отношение объёмов тел, полученных от вращения круга и треугольника вокруг диаметра, проходящего через вершину треугольника. В ответе укажите отношение меньшего объёма к большему (с точностью до сотых).

Вниз   Решение


В десятичной записи положительного числа α отброшены все десятичные знаки, начиная с третьего знака после запятой (то есть взято приближение α с недостатком с точностью до 0, 01). Полученное число делится на α и частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Какие числа при этом могут получиться?

ВверхВниз   Решение


Пять друзей подошли к реке и обнаружили на берегу лодку, в которой могут поместиться все пятеро. Они решили покататься на лодке. Каждый раз с одного берега на другой переправляется компания из одного или нескольких человек. Друзья хотят организовать катание так, чтобы каждая возможная компания переправилась ровно один раз. Получится ли у них это сделать?

ВверхВниз   Решение


Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы, равная 6, составляет угол 30o с плоскостью другой боковой грани. Найдите объём призмы.

ВверхВниз   Решение


В пространстве расположен выпуклый многогранник, все вершины которого находятся в целых точках. Других целых точек внутри, на гранях и на рёбрах нет. (Целой называется точка, все три координаты которой – целые числа.) Доказать, что число вершин многогранника не превосходит восьми.

ВверхВниз   Решение


Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 , в котором AB =2 , AD = 4 , BB1 = 12 . Точки M и K расположены на рёбрах CC1 и AD соответственно, причём CM:MC1 = 1:2 , AK = KD . Найдите угол между прямыми AM и KB1 .

ВверхВниз   Решение


В Швамбрании некоторые города связаны двусторонними беспосадочными авиарейсами. Рейсы разделены между тремя авиакомпаниями, причём если какая-то авиакомпания обслуживает линию между городами А и Б, то самолёты других компаний между этими городами не летают. Известно, что из каждого города летают самолёты всех трёх компаний. Докажите, что можно, вылетев из некоторого города, вернуться в него, воспользовавшись по пути рейсами всех трёх компаний и не побывав ни в одном из промежуточных городов дважды.

ВверхВниз   Решение


На стороне AB треугольника ABC выбрана точка M. В треугольнике ACM точка I1 – центр вписанной, J1 – центр вневписанной окружности, касающейся стороны CM. В треугольнике BCM точка I2 – центр вписанной, J2 центр вневписанной окружности, касающейся стороны CM. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков I1I2 и J1J2 перпендикулярна AB.

ВверхВниз   Решение


Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямая проходящая через середину его высоты CH и вершину A пересекает CB в точке K. Пусть L – середина BC, а T – точка на отрезке AB такая, что ATK=LTB. Известно, что BC=1. Найдите периметр треугольника KTL.

ВверхВниз   Решение


На рёбрах AB , BC и BD пирамиды ABCD взяты точки K , L и M соответственно. Постройте точку пересечения плоскостей ACM , CDK и ADL .

ВверхВниз   Решение


Игра ``Ним''. Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять любое (ненулевое) количество камней, но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто взял последний камень. Для анализа игры каждому набору кучек камней m1, m2, ..., ml поставим в соответствие его ним сумму (5.1 ).
а) Докажите, что если игрок делает ход из позиции с нулевой ним-суммой, то в результате получается позиция с ним-суммой n$ \ne$ 0.
б) Докажите, что из позиции с ненулевой ним-суммой всегда можно сделать ход в позицию с ним-суммой n = 0.
в) Опишите выигрышную стратегию в игру ``Ним''.
г) Какой следует сделать ход, если перед вами три кучки: 3, 4 и 5 камней?

ВверхВниз   Решение


Вводится сначала число N, а затем N чисел. Выведите эти N чисел
в следующем порядке: сначала выводятся числа, стоящие на нечетных местах,
а затем - стоящие на четных местах.

Входные данные
Вводится число N (0<N<100), а затем N чисел из диапазона Integer.


Пример входного файла
7
2 4 1 3 5 3 1

Пример выходного файла
2 1 5 1 4 3 3

ВверхВниз   Решение


Медианы AA0, BB0 и CC0 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке M, а высоты AA1, BB1 и CC1 – в точке H. Касательная к описанной окружности треугольника A1B1C1 в точке C1 пересекает прямую A0B0 в точке C'. Точки A' и B' определяются аналогично. Докажите, что A', B' и C' лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой MH.

Вверх   Решение

Задача 64758
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Радикальная ось ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы:
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Медианы AA0, BB0 и CC0 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке M, а высоты AA1, BB1 и CC1 – в точке H. Касательная к описанной окружности треугольника A1B1C1 в точке C1 пересекает прямую A0B0 в точке C'. Точки A' и B' определяются аналогично. Докажите, что A', B' и C' лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой MH.


Решение

  Основания высот и медиан треугольника ABC лежат на окружности девяти точек ω1 (см. задачу 52511). Прямая Эйлера MH является линией центров этой окружности и описанной окружности ω треугольника ABC (см. задачу 64414). Поэтому достаточно доказать, что точки A', B' и C' принадлежат радикальной оси ω и ω1 (см. рис.).

  Докажем этот факт для точки C' (доказательство для остальных точек аналогично). Покажем, что CC' – касательная к окружности ω.

  Первый способ. Поскольку прямые CC1 и A0B0 перпендикулярны и отрезок CC1 делится средней линией A0B0 пополам, то точки C и C1 симметричны относительно прямой B0C', следовательно,  ∠C'CA0 = ∠C'C1A0  и  ∠CB0A0 = ∠C1B0A0.
  Поскольку C1C' – касательная к окружности ω1, то  ∠A0B0C1 = ∠A0C1C'. Из симметрию точек C и C1 относительно B0C' и параллельности прямых AB и A0B0 следует, что  ∠BAC = ∠A0B0C = ∠C'B0C1 = ∠A0C1C' = ∠C'CA0,  то есть CC' – касательная к окружности ω.

  Второй способ. Описанная окружность и окружность девяти точек гомотетичны с центром в точке H и коэффициентом ½. При этой гомотетии касательная к окружности ω в точке C перейдёт в касательную к ω1 в точке T – середине отрезка CH. Эти касательные образуют с отрезком CC1 равные углы. Касательные к ω1 в точках T и C1 также образуют с CC1 равные углы. Следовательно, и касательные к окружностям ω и ω1 в точках C и C1 соответственно образуют с CC1 равные углы. Значит, точка пересечения касательных лежит на серединном перпендикуляре к CC1, то есть на A0B0.

  В силу симметрии C'C = C'C1,  то есть степени точки C' относительно окружностей ω и ω1 равны. Следовательно, точка C' принадлежит радикальной оси этих окружностей, что и требовалось.

Замечания

Для доказательства того, что CC' – касательная, также можно было воспользоваться симметрией описанных окружностей треугольников C1B0A0 и CB0A0 и гомотетией с центром в точке C и коэффициентом 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 12 (2014 год)
Дата 2014-04-12
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .