Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
В клетках квадратной таблицы n × n, где n > 1, требуется расставить различные целые числа от 1 до n2 так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на n, – в разных строках и в разных столбцах. При каких n это возможно?
По окружности $\Omega$ движется точка $P$. На окружности $\Omega$ зафиксированы точки $A$ и $B$. Точка $C$ – произвольная точка внутри круга с границей $\Omega$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $APC$ и $BCP$, пересекаются в точке $Q$. Докажите, что все точки $Q$ лежат на двух фиксированных прямых.
Дан треугольник ABC, O – центр его описанной окружности. Проекции точек D и X на стороны треугольника лежат на прямых l и L, причём
l || XO. Докажите, что прямая L образует равные углы с прямыми AB и CD.
Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.
Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.
На сторонах $AB$, $BC$, $CA$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P$, $Q$, $R$ соответственно так, что $AP=PR$, $CQ=QR$. Точка $H$ – ортоцентр треугольника $PQR$, точка $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $OH \parallel AC$.
Существует ли в пространстве замкнутая самопересекающаяся ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз, причём в его середине?
Пусть AK и BL – высоты остроугольного треугольника ABC, а Ω – вневписанная окружность ABC, касающаяся стороны AB. Общие внутренние касательные к описанной окружности ω треугольника CKL и окружности Ω пересекают прямую AB в точках P и Q. Докажите, что AP = BQ.
Дан фиксированный треугольник ABC. Пусть D – произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в D, проходящая через A, пересекает вторично прямые AB и AC в точках Ab и Ac соответственно. Аналогично определяются точки Ba, Bc, Ca и Cb. Точку D назовём хорошей, если точки Ab, Ac, Ba, Bc, Ca и Cb лежат на одной окружности.
Сколько может оказаться точек, хороших для данного треугольника ABC?
|
|
 |
Условие
Дан фиксированный треугольник ABC. Пусть D – произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в D, проходящая через A, пересекает вторично прямые AB и AC в точках Ab и Ac соответственно. Аналогично определяются точки Ba, Bc, Ca и Cb. Точку D назовём хорошей, если точки Ab, Ac, Ba, Bc, Ca и Cb лежат на одной окружности.
Сколько может оказаться точек, хороших для данного треугольника ABC?
Решение
Очевидно, что центр O описанной окружности Ω треугольника ABC – хорошая точка, поскольку в этом случае Ba = Ca = A, Ab = Cb = B и
Ac = Bc = C.
Рассмотрим теперь любую хорошую точку D, отличную от O. Пусть A', B', C' – проекции D на BC, CA, AB соответственно. Точки A и Ab симметричны относительно C', так же как и точки B и Ba. Значит, середины отрезков AB и AbBa также симметричны относительно C'; следовательно, серединный перпендикуляр к AbBa проходит через точку O', симметричную O относительно D (рис. слева). Аналогично, серединные перпендикуляры к AcCa и BcCb также проходят через O', при этом они не параллельны; значит, O' и является центром окружности, проходящей через шесть точек. Заметим, что O' также не совпадает с D.
Наоборот, пусть точка D окружности Ω такова, что её прямая Симсона перпендикулярна OD. Обращая рассуждения предыдущих двух абзацев, получаем, что точка O' лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам AbBa, BcCb, AcCa, AbAc, BaBc и CaCb, то есть все шесть точек равноудалены от O'. Значит, точка D – хорошая.
Найдём теперь количество хороших точек. Пусть точка X движется по Ω с постоянной угловой скоростью. Как известно (см.задачу 56941), прямая Симсона точки X вращается со вдвое меньшей угловой скоростью в противоположном направлении. Значит, угол между радиусом OX и этой прямой меняется с полуторной скоростью, поэтому на описанной окружности существуют три хороших точки. Добавляя центр O, получаем, что хороших точек не больше четырёх.
Осталось учесть, что некоторые из этих точек могут совпасть с вершинами. Поскольку прямая Симсона вершины A – это высота, опущенная из неё, такое происходит, если радиус OA параллелен BC, то есть если |∠B – ∠C| = 90°. Это может произойти и с двумя вершинами – в треугольнике с углами 30°, 30° и 120°.
Ответ
2, 3 или 4.
