Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Найдите (xn – 1, xm – 1).
Есть 20 карточек, у каждой из которых на двух сторонах написано по числу. При этом все числа от 1 до 20 написаны по два раза.
Доказать, что карточки можно разложить так, чтобы все числа сверху были различны.
Криволинейный многоугольник – это многоугольник, стороны которого – дуги окружностей. Существуют ли такой криволинейный многоугольник P и такая точка A на его границе, что каждая прямая, проходящая через точку A, делит периметр многоугольника P на два куска равной длины?
Разрежьте круг на несколько равных частей так, чтобы центр круга не лежал на границе хотя бы одной из них.
Пусть (P(x), Q(x)) = D(x).
Докажите, что существуют такие многочлены U(x) и V(x), что degU (x) < deg Q(x), deg V(x) < deg P(x) и
P(x)U(x) + Q(x)V(x) = D(x).
Докажите, что x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx при любых x, y, z.
Требуется записать число вида 7...7, используя только семёрки (их можно писать и по одной, и по нескольку штук подряд), причём разрешены только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, а также скобки. Для числа 77 самая короткая запись – это просто 77. А существует ли число вида 7...7, которое можно записать по этим правилам, используя меньшее количество семёрок, чем в его десятичной записи?
Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой AC, проведена биссектриса треугольника BD; отмечены середины E и F дуг BD окружностей, описанных около треугольников ADB и CDB соответственно (сами окружности не проведены). Постройте одной линейкой центры окружностей.
|
|
 |
Условие
Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой AC, проведена биссектриса треугольника BD; отмечены середины E и F дуг BD окружностей, описанных около треугольников ADB и CDB соответственно (сами окружности не проведены). Постройте одной линейкой центры окружностей.
Решение
Заметим, что прямая EF является серединным перпендикуляром к BD. Поэтому точки K, L ее пересечения с AB и BC являются вершинами квадрата BKDL. Используя параллельные прямые BC и KD, разделим отрезок BC пополам (см. задачу 53775). Используя параллельные прямые AB и DL, построим параллельную им прямую, проходящую через середину BC (см. задачу 53776). Эта прямая является серединным перпендикуляром к BC и, значит, пересекает EF в центре описанной окружности треугольника BCD. Аналогично строится центр описанной окружности треугольника ABD.
