Сумма положительных чисел a, b, c и d равна 3. Докажите неравенство   ¹/_a³ + ¹/_b³ + ¹/_c³ + ¹/_d³ ≤ ¹/_a³b³c³d³.

   Решение

Решите уравнение  

   Решение

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Середины сторон AB и CD обозначим соответственно через K и M, точку пересечения AM и DK — через O, точку пересечения BM и CK — через P. Доказать, что площадь четырёхугольника MOKP равна сумме площадей треугольников BPC и AOD.

   Решение

Боковое ребро правильной треугольной призмы равно высоте основания, а площадь сечения, проведённого через это боковое ребро и высоту основания, равна Q . Найдите объём призмы.

   Решение

Выразите через a и b действительный корень уравнения  x³ – a³ – b³ – 3abx = 0.
Найдите представления для двух комплексных корней этого уравнения.

   Решение

а) Докажите, что для любого параллелограмма существует эллипс, касающийся сторон параллелограмма в их серединах.
б) Докажите, что для любого треугольника существует эллипс, касающийся сторон треугольника в их серединах.

   Решение

Точка A лежит внутри правильного десятиугольника X₁...X₁₀, а точка B — вне его. Пусть  a = + ... +   и  b = + ... + .
Может ли оказаться, что  |a| > |b| ?

   Решение

Пусть  n > 2.  Докажите, что между n и n! есть по крайней мере одно простое число.

   Решение

В четырёхугольнике ABCD сторона AB равна диагонали AC и перпендикулярна стороне AD, а диагональ AC перпендикулярна стороне CD. На стороне AD взята такая точка K , что  AC = AK.  Биссектриса угла ADC пересекает BK в точке M. Найдите угол ACM.

   Решение

Темы:    [ Четырехугольники (прочее) ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В четырёхугольнике ABCD сторона AB равна диагонали AC и перпендикулярна стороне AD, а диагональ AC перпендикулярна стороне CD. На стороне AD взята такая точка K , что  AC = AK.  Биссектриса угла ADC пересекает BK в точке M. Найдите угол ACM.

Решение

Поскольку треугольник BAK – прямоугольный равнобедренный,  ∠AKB = 45°.  Пусть биссектриса угла CAD пересекает отрезок BK в точке N. Треугольники ANK и ANС равны: AN – общая сторона,  AC = AK,  ∠CAN = ∠KAN.  Поэтому  ∠NCA = ∠NKA = 45°.  Значит, CN – биссектриса прямого угла ACD, а N – точка пересечения биссектрис треугольника ACD. Таким образом, точка N лежит на биссектрисе угла ACD и на отрезке BK, то есть совпадает с точкой M. Следовательно,  ∠ACM = ∠ACN = 45°.

Ответ

45°.

Источники и прецеденты использования