Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
В клубе встретились двадцать джентльменов. Некоторые из них были в шляпах, а некоторые – без шляп. Время от времени один из джентльменов снимал с себя шляпу и надевал её на одного из тех, у кого в этот момент шляпы не было. В конце десять джентльменов подсчитали, что каждый из них отдавал шляпу большее количество раз, чем получал. Сколько джентльменов пришли в клуб в шляпах?
На плоскости дано множество из n9 точек. Для любых 9 его точек
можно выбрать две окружности так, что все эти точки окажутся на выбранных
окружностях. Докажите, что все n точек лежат на двух окружностях.
Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это максимальное расстояние между точками множества.)
В треугольнике ABC высота AH равна h,
BAC =
,
BCA =
.
Найдите площадь треугольника ABC.
Если дан ряд из 15 чисел
Найдите наименьшее натуральное число n, для которого n2 + 20n + 19 делится на 2019.
Может ли сумма тангенсов углов одного треугольника равняться сумме тангенсов углов другого, если один из этих треугольников остроугольный, а другой тупоугольный?
| (1 + x + x2 +...+ x9)(1 + x10 + x20 +...+ x90)× |
| ×(1 + x100 + x200 +...+ x900)...= |
Окружность радиуса R с центром в точке O проходит через вершины A и B треугольника ABC, пересекает отрезок BC в точке M и касается прямой AC в точке A. Найдите CM, зная, что ∠ACO = α, ∠MAB = β.
Пусть α , β , γ , τ – такие положительные числа, что
при всех x
Докажите, что α=γ или α=τ .
Васе на 23 февраля подарили 777 конфет. Вася хочет съесть все конфеты за n дней, причем так, чтобы каждый из этих дней (кроме первого, но включая последний) съедать на одну конфету больше, чем в предыдущий. Для какого наибольшего числа n это возможно?
На столе лежали две колоды, по 36 карт в каждой. Первую колоду перетасовали и положили на вторую. Затем для каждой карты первой колоды подсчитали количество карт между ней и такой же картой второй колоды (то есть сколько карт между семёрками червей, между дамами пик, и т.д.). Чему равна сумма 36 полученных чисел?
Окружность, проходящая через вершины A, B и точку пересечения высот треугольника ABC, пересекает стороны AC и BC во внутренних точках.
Докажите, что 60° < ∠C < 90°.
|
|
 |
Условие
Окружность, проходящая через вершины A, B и точку пересечения высот треугольника ABC, пересекает стороны AC и BC во внутренних точках.
Докажите, что 60° < ∠C < 90°.
Решение 1
Пусть A' и B' – точки пересечения окружности со сторонами BC и AC соответственно. Тогда угол C равен полуразности дуг AB и A'B'. Поскольку на дугу AB опирается угол между высотами треугольника, равный 180° – ∠C, то 180° – ∠C > ∠C, то есть ∠C < 90°.
С другой стороны, угол C больше угла между касательными к окружности в точках A и B, который по теореме о вписанном и центральном углах равен
180° – 2∠C. Следовательно, ∠C > 60°.
Решение 2
Пусть угол C не меньше прямого, тогда H лежит вне треугольника или совпадает с C. В обоих случаях точки пересечения не лежат внутри сторон.
Поскольку ∠AA'B = ∠BB'A = ∠AHB= 180° – ∠C, то ∠AA'C = ∠BB'C = ∠C. Но эти углы больше углов A и B как внешние углы треугольников AA'B и BB'A. Значит, C – наибольший угол треугольника ABC, то есть он больше 60°.
