Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что  ∠$PDA$ = ∠$PBA$.  Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая против вершины $A$, а ω – вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна $AD$.

   Решение

Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

   Решение

В ряд выписаны несколько нулей и единиц. Рассмотрим пары цифр в этом ряду (не только соседних), где левая цифра равна 1, а правая 0. Пусть среди этих пар ровно M таких, что между единицей и нулем этой пары стоит чётное число цифр, и ровно N таких, что между единицей и нулем этой пары стоит нечётное число цифр. Докажите, что  M ≥ N.

   Решение

При каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что  |$a - b$| ≤ $k$  или  |¹/_a – ¹/_b| ≤ $k$?

   Решение

Дано n чисел, p – их произведение. Разность между p и каждым из этих чисел – нечётное число. Докажите, что все данные n чисел иррациональны.

   Решение

Что больше
  а) 2³⁰⁰ или 3²⁰⁰?
  б) 2⁴⁰ или 3²⁸?
  в) 5⁴⁴ или 4⁵³?

   Решение

В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ – середины сторон BC, CA и AB соответственно. Точки B₂ и C₂ – середины отрезков BA₁ и CA₁ соответственно. Точка B₃ симметрична C₁ относительно B, а точка C₃ симметрична B₁ относительно C. Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников BB₂B₃ и CC₂C₃ лежит на описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ – середины сторон BC, CA и AB соответственно. Точки B₂ и C₂ – середины отрезков BA₁ и CA₁ соответственно. Точка B₃ симметрична C₁ относительно B, а точка C₃ симметрична B₁ относительно C. Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников BB₂B₃ и CC₂C₃ лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Решение 1

  На описанной окружности Ω треугольника ABC отметим точку X так, что  ∠XA₁C = ∠CA₁A.  Тогда X симметрична второй точке пересечения прямой AA₁ с Ω относительно серединного перпендикуляра к BC, так что  A₁X·A₁A = A₁B·A₁C = A₁C².  Отсюда следует, что треугольники XA₁C и CA₁A подобны.
  Пусть T – середина AA₁. Тогда XC₂ и CT – соответственные медианы в подобных треугольниках, откуда  ∠CXC₂ = ∠ACT (рис. слева). С другой стороны, CTC₂C₃ – параллелограмм, так что  ∠CC₃C₂ = ∠ACT = ∠CXC₂.  Это значит, что X лежит на описанной окружности треугольника CC₂C₃.
  Аналогично X лежит на описанной окружности треугольника BB₂B₃. Поэтому X и есть искомая точка.

             

Решение 2

  Построим треугольник YB₂C₂, подобный треугольнику ABC и лежащий с ним в разных полуплоскостях относительно BC (рис. справа). Так как
B₂C₂ = ½ BC,  точки B₃, Y и C₃ находятся на одном и том же расстоянии от BC (равном половине расстояния от A до BC). Кроме того,
YB₂ = ½ AB = BB₃  и  YC₂ = ½ AC = CC₃.  Значит, BB₂YB₃ и CC₂YC₃ – равнобокие трапеции, и Y – одна из общих точек описанных окружностей треугольников BB₂B₃ и CC₂C₃.
  Так как степени точки A₁ относительно этих окружностей равны, вторая точка их пересечения лежит на прямой A₁Y. Пусть луч A₁Y пересекает описанную около ABC окружность в точке X. Так как AA₁ и YA₁ – соответственные медианы в подобных треугольниках ABC и YB₂C₂, получаем
∠XA₁C = ∠CA₁A,  а значит, как и в решении 1,  A₁X<·A₁A = A₁B·A₁C.  Поэтому A₁X·A₁Y = ½ A₁X·A₁A = ½ A₁B² = A₁B·A₁B₂,  то есть X и есть вторая точка пересечения окружностей.

Источники и прецеденты использования