Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Каждый член последовательности, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему числу его суммы цифр. Первым членом последовательности является единица. Встретится ли в последовательности число 123456?
Пусть α – действительное положительное число, d – натуральное.
Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на d, равно [α/d].
Может ли быть так, что а) σ(n) > 3n; б) σ(n) > 100n?
Врун всегда лжёт, Хитрец говорит правду или ложь, когда захочет, а Переменчик говорит то правду, то ложь попеременно. Путешественник встретил Вруна, Хитреца и Переменчика, которые знают друг друга. Сможет ли он, задавая им вопросы, выяснить, кто есть кто?
Доказать, что среди 18 последовательных трёхзначных чисел найдётся хотя бы одно, которое делится на сумму своих цифр.
В кубе ABCDA1B1C1D1 , где AA1 , BB1 , CC1 и DD1 – параллельные рёбра, плоскость P проходит через диагональ A1C1 грани куба и середину ребра AD . Найдите расстояние от середины ребра AB до плоскости P , если ребро куба равно 3.
В треугольнике ABC стороны AC и BC не равны. Докажите, что
биссектриса угла C делит пополам угол между медианой и высотой,
проведёнными из вершины C, тогда и только тогда, когда
C = 90o.
Бывают ли натуральные числа, произведение цифр которых равно 1986?
Пусть M и N – точки пересечения медиан граней ABD и BCD тетраэдра ABCD. Найдите MN, если известно, что AC = a.
На танцплощадке собрались N юношей и N девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?
Вдоль правой стороны дороги припарковано 100 машин. Среди них – 30 красных, 20 жёлтых и 20 розовых мерседесов. Известно, что никакие два мерседеса разного цвета не стоят рядом. Докажите, что тогда какие-то три мерседеса, стоящие подряд, одного цвета.
Шеренга состоит из N ребят попарно различного роста. Её разбили на наименьшее возможное количество групп стоящих подряд ребят, в каждой из которых ребята стоят по возрастанию роста слева направо (возможны группы из одного человека). Потом в каждой группе переставили ребят по убыванию роста слева направо. Докажите, что после N – 1 такой операции ребята будут стоять по убыванию роста слева направо.
|
|
 |
Условие
Шеренга состоит из N ребят попарно различного роста. Её разбили на наименьшее возможное количество групп стоящих подряд ребят, в каждой из которых ребята стоят по возрастанию роста слева направо (возможны группы из одного человека). Потом в каждой группе переставили ребят по убыванию роста слева направо. Докажите, что после N – 1 такой операции ребята будут стоять по убыванию роста слева направо.
Решение
Выберем любое число h и всех ребят ростом меньше h назовём карликами, а остальных – великанами. Место между соседями, левый из которых карлик, а правый – великан, назовём стыком. Весом стыка назовём количество карликов слева и великанов справа от него (не обязательно подряд). Вес может принимать значения от 2 до N. До операции всякий стык мог быть только внутри группы, причём не более одного в группе. А после операции – только на границе бывшей группы, которая содержала стык. Веса обоих возможных стыков на границах группы будут меньше веса бывшего стыка этой группы. Поэтому максимум весов уменьшается при операции (если, конечно, стыки ещё появляются). Значит, после N – 1 операции стыков не останется. Тем самым все великаны будут стоять левее всех карликов.
Рассматривая нужные h, получим, что первый будет выше всех, первые двое – выше всех остальных, и т.д. Это и значит, что ребята стоят по убыванию роста.
Замечания
12 баллов
