Выбрано 14 задач 
Убрать все задачи
Делимое в шесть раз больше делителя, а делитель в шесть раз больше частного. Чему равны делимое, делитель и частное?
В равносторонний треугольник со стороной a вписана окружность. К окружности проведена касательная, отрезок которой внутри треугольника равен b.
Найдите площадь треугольника, отсечённого этой касательной.
Бумажный прямоугольный треугольник АВС перегнули по прямой так, что вершина С прямого угла совместилась с вершиной В и получился четырёхугольник. В каких отношениях точка пересечения диагоналей четырёхугольника делит эти диагонали?
В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым числом иголок.
Приведите пример числа, делящегося на 2020, в котором каждая из десяти цифр встречается одинаковое количество раз.
На стороны BC и CD параллелограмма ABCD (или
на их продолжения) опущены перпендикуляры AM и AN.
Докажите, что треугольники MAN и ABC подобны.
В треугольнике ABC угол A равен 40°. Треугольник случайным образом бросают на стол.
Найдите вероятность того, что вершина A окажется восточнее двух других вершин.
Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:
На острове 100 рыцарей и 100 лжецов. У каждого из них есть хотя бы один друг. Однажды ровно 100 человек сказали: "Все мои друзья – рыцари", и ровно 100 человек сказали: "Все мои друзья – лжецы". Каково наименьшее возможное количество пар друзей, один из которых рыцарь, а другой лжец?
Один из четырёх углов, образующихся при пересечении двух прямых, равен 41°. Чему равны три остальных угла?
Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?
Назовем расстановку n единиц и m нулей по кругу хорошей, если в ней можно поменять местами соседние нуль и единицу так, что получится расстановка, отличающаяся от исходной поворотом. При каких натуральных n, m существует хорошая расстановка?
Продолжение биссектрисы AD остроугольного
треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке E.
Из точки D на стороны AB и AC опущены перпендикуляры DP
и DQ. Докажите, что
SABC = SAPEQ.
Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, все стороны которого равны между собой. Известно, что угол A равен 120°, угол C равен 135°, а угол D равен n°.
Найдите все возможные целые значения n.
|
|
 |
Условие
Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, все стороны которого равны между собой. Известно, что угол A равен 120°, угол C равен 135°, а угол D равен n°.
Найдите все возможные целые значения n.
Решение 1
Для начала покажем, что ответ единственен. Рассмотрим два равносторонних пятиугольника ABCDE и A'B'C'D'E', в которых ∠A = ∠A' = 120°,
∠C = ∠C' = 135°. Можно считать, что длины сторон пятиугольников равны 1. Заметим, что по двум сторонам и углу между ними равны треугольники EAB и E'A'B', а также BCD и B'C'D'. Значит, BE = B'E', BD = B'D', и треугольники BDE и B'D'E' равны по трём сторонам. Следовательно,
∠BDE = ∠B'D'E'. Из равнобедренных треугольников BCD и B'C'D' видно, что ∠CDB = ∠C'D'B' = 22,5°. Таким образом,
∠CDE = ∠CDB + ∠BDE = ∠C'D'B' + ∠B'D'E' = ∠C'D'E', что и означает единственность ответа.
Докажем, что существует удовлетворяющий условию пятиугольник, у которого ∠D = 90°. Сначала построим прямоугольный треугольник CDE, с катетами CD и DE, равными 1. Тогда . Затем построим такую точку B, что ∠ECB = 90°, BC = 1. Тогда
. Теперь построим точку A так, что ∠AEB = ∠ABE = 30°. Тогда ∠BAE = 120°, AB = AE = 1.
Решение 2
Пусть длины всех сторон пятиугольника равны 1. Из треугольника BDC находим, что ∠BDC = 12,5°. Обозначим ∠BDE = φ. По теореме косинусов По той же теореме
Значит,
то есть 2φ = 135°, φ = 72,5°, а ∠D = ∠EDB + ∠BDC = 90°.
Ответ
90°.
