Квадратный трёхчлен  f(x) = ax² + bx + c  таков, что уравнение  f(x) = x  не имеет вещественных корней.
Докажите, что уравнение  f(f(x)) = x  также не имеет вещественных корней.

   Решение

Подряд выписаны n чисел, среди которых есть положительные и отрицательные. Подчеркивается каждое положительное число, а также каждое число, сумма которого с несколькими непосредственно следующими за ним числами положительна. Докажите, что сумма всех подчеркнутых чисел положительна.

   Решение

Докажите, что если в треугольной пирамиде любые два трехгранных угла равны или симметричны, то все грани этой пирамиды равны.

   Решение

Окружность ω описана около остроугольного треугольника ABC. На стороне AB выбрана точка D, а на стороне BC – точка E так, что  DE || AC.  Точки P и Q на меньшей дуге AC окружности ω таковы, что  DP || EQ.  Лучи QA и PC пересекают прямую DE в точках X и Y соответственно. Докажите, что  ∠XBY + ∠PBQ = 180°.

   Решение

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Пусть ω – его описанная окружность, точка M – середина стороны BC, P – вторая точка пересечения описанной окружности треугольника AB₁C₁ и ω, T – точка пересечения касательных к ω, проведённых в точках B и C, S – точка пересечения AT и ω. Докажите, что P, A₁, S и середина отрезка MT лежат на одной прямой.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Точка Лемуана ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Пусть ω – его описанная окружность, точка M – середина стороны BC, P – вторая точка пересечения описанной окружности треугольника AB₁C₁ и ω, T – точка пересечения касательных к ω, проведённых в точках B и C, S – точка пересечения AT и ω. Докажите, что P, A₁, S и середина отрезка MT лежат на одной прямой.

Решение

  Пусть H – ортоцентр треугольника ABC, H' – точка, симметричная H относительно BC, X – точка, симметричная H относительно M, A' – середина дуги BC, не содержащей точку A, K – точка пересечения прямой AM и ω (см. рис.). Согласно задачам 55463 и 108949 точки H' и X лежат на ω. Кроме того, точка X диаметрально противоположна точке A (см. решение задачи 108600).
  Согласно задаче 56983 AS – симедиана треугольника ABC. Поэтому дуги A'H' и A'X равны, значит, точки H' и X (как и точки S и K) симметричны относительно прямой MT.

  Лемма 1. Точки P, H, M и X лежат на одной прямой.
  Доказательство. Заметим, что AH – диаметр описанной окружности треугольника AB₁C₁, то есть  ∠APH = 90°.  Точка X диаметрально противоположна точке A, поэтому и  ∠APX = 90°,  откуда и следует утверждение леммы.

  Лемма 2. Точки P, H' и T лежат на одной прямой.
  Доказательство. Согласно задаче 56983 PT – симедиана треугольника BPC, а PM – его медиана. Поэтому достаточно доказать, что PH' и PM симметричны относительно биссектрисы угла BPC. Это следует из равенства дуг BH' и CX, которое фактически доказано выше.

  Как уже доказано, точки H и H' расположены на сторонах PM и PT треугольника PMT. Так как A₁ – середина HH', а  HH' || TM,  то прямая PA₁ делит TM пополам.
  Поскольку точки P и A₁ лежат на окружности с диаметром AM, то  ∠H'MS = ∠XMK = ∠PMA = ∠PA₁A.  Кроме того,
∠MSH' = ∠MKX = ∠AKX = 90°.  Следовательно, четырёхугольник A₁H'SM – вписанный, откуда  ∠PA₁A = ∠H'MS = ∠H'A₁S.  Значит, точки P, A₁ и S лежат на одной прямой.

Замечания

Другие свойства точки P и более общей конструкции можно найти в статьях Ю. Блинкова "Ортоцентр, середина стороны, точка пересечения касательных и... еще одна точка!" и В. Дубровского "Two applications of a lemma on intersecting circles".

Источники и прецеденты использования