Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Существует ли кусочно-линейная функция f, определённая на отрезке [–1, 1] (включая концы), для которой f(f(x))= – x при всех x?
(Функция называется кусочно-линейной, если её график есть объединение
конечного числа точек и интервалов прямой; она может быть разрывной.)
С натуральным числом K производится следующая операция: оно представляется в виде произведения простых сомножителей K = p1p2...pn; затем вычисляется сумма p1 + p2 + ... + pn + 1. С полученным числом производится то же самое, и т.д.
Доказать, что образующаяся последовательность, начиная с некоторого номера, будет периодической.
Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?
При каких a и b многочлен P(x) = (a + b)x5 + abx² + 1 делится на x² – 3x + 2?
Окружность отсекает от прямоугольника ABCD четыре прямоугольных треугольника, середины гипотенуз которых A0, B0, C0 и D0 соответственно.
Докажите, что отрезки A0C0 и B0D0 равны.
|
|
 |
Условие
Окружность отсекает от прямоугольника ABCD четыре прямоугольных треугольника, середины гипотенуз которых A0, B0, C0 и D0 соответственно.
Докажите, что отрезки A0C0 и B0D0 равны.
Решение
Пусть окружность пересекает стороны AB, BC, CD, DA в точках K1, K2, L1, L2, M1, M2, N1, N2. Тогда K1K2M2M1 – равнобокая трапеция, то есть
AK1 – DM1 = BK2 – CM2, или AK1 + CM2 = BK2 + DM1. Значит, проекции отрезков A0C0 и B0D0 на AB, равные соответственно
AB – ½ (AK1 + CM2) и AB – ½ (BK2 + DM1), равны между собой. Аналогично равны проекции этих отрезков на BC, а следовательно и сами отрезки.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
| год | |
| Год | 2017 |
| тур | |
| неизвестно | |
| Номер | 2 |
