Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Будем говорить, что две пирамиды соприкасаются гранями, если эти пирамиды не имеют общих внутренних точек и некоторая грань одной пирамиды пересекается с некоторой гранью другой пирамиды по многоугольнику. Можно ли расположить восемь пирамид в пространстве так, чтобы каждые две соприкасались гранями?
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке K. Оказалось, что точки B, D, а также середины M и N отрезков AC и KC лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол ADC?
От данного угла двумя прямыми разрезами длиной 1 отрежьте многоугольник наибольшего возможного периметра.
В остроугольном треугольнике $ABC$ $A_M$ – середина стороны $BC$, $A_H$ – основание высоты, опущенной на эту сторону. Аналогично определяются точки $B_M$, $B_H$, $C_M$, $C_H$. Докажите, что одно из отношений $A_MA_H:A_HA$, $B_MB_H:B_HB$, $C_MC_H:C_HC$ равно сумме двух других.
Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями.
Верно ли, что, если они будут кататься достаточно долго, то найдётся момент, когда расстояние между каждыми двумя из них будет больше 1 км?
Куб 20×20×20 составлен из 2000 кирпичей размером 2×2×1.
Докажите, что его можно проткнуть иглой так, чтобы игла прошла через две
противоположные грани и не уткнулась в кирпич.
Какое наименьшее количество клеток нужно отметить на шахматной доске, чтобы
1) среди отмеченных клеток не было соседних (имеющих общую сторону или общую вершину),
2) добавление к этим клеткам любой одной клетки нарушало пункт 1?
Дан выпуклый многогранник и точка $K$, не принадлежащая ему. Для каждой точки $M$ многогранника строится шар с диаметром $MK$. Докажите, что в многограннике существует единственная точка, принадлежащая всем таким шарам.
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M. Окружность ω касается отрезка MA в точке P, отрезка MD в точке Q и описанной окружности Ω четырёхугольника ABCD в точке X. Докажите, что X лежит на радикальной оси описанных окружностей ωQ и ωP треугольников ACQ и BDP.
|
|
 |
Условие
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M. Окружность ω касается отрезка MA в точке P, отрезка MD в точке Q и описанной окружности Ω четырёхугольника ABCD в точке X. Докажите, что X лежит на радикальной оси описанных окружностей ωQ и ωP треугольников ACQ и BDP.
Решение 1
При инверсии с центром в точке X прямые AC и BD перейдут в окружности ω1 и ω2, пересекающиеся в точках X и M', окружность ω – в прямую, касающуюся этих окружностей в точках P', Q' соответственно, а окружность Ω – в прямую, параллельную P'Q', пересекающую ω1 в точках A', C', и ω2 – в точках B', D' (см. рис.). Поскольку M лежит на радикальной оси окружностей ωQ и ωP, утверждение задачи равносильно тому, что радикальная ось окружностей ωQ' и ωP' треугольников A'C'Q' и B'D'P' совпадает с прямой XM'.
Решение 2
Пусть касательная l в точке X к окружности Ω пересекает AC в точке S, а BD – в точке T. Тогда SM – радикальная ось Ω и ωQ, ST – радикальная ось Ω и ω. Значит, S – радикальный центр окружностей Ω, ωQ и ω, то есть SQ – радикальная ось окружностей ωQ и ω (так как Q лежит на обеих окружностях). Аналогично TP – радикальная ось окружностей ωP и ω. Следовательно, точка G пересечения SQ и TP – радикальный центр окружностей ωQ, ωP и ω. С другой стороны, M – радикальный центр окружностей ωQ, ωP и ω, то есть MG – радикальная ось окружностей ωQ и ωP. Осталось заметить, что MG проходит через X, так как G – внешняя точка Жергонна треугольника MST.
Замечания
Внешняя точка Жергонна – точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания вневписанной окружности с прямыми, содержащими его стороны. То, что эти прямые перескаются в одной точке, легко следует из теоремы Чевы.
