Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Назовём точку внутри треугольника хорошей, если три проходящие через неё чевианы равны. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а количество хороших точек нечётно. Чему оно может быть равно?
Карлсон ест варенье вдвое быстрее, чем Малыш, а торт он ест втрое быстрее, чем Малыш.
Однажды они съели банку варенья и торт. Карлсон начал с торта, а Малыш с варенья. Покончив с тортом, Карлсон помог Малышу доесть варенье, и на всё это у них ушло два часа.
В другой раз они съели такую же банку варенья и такой же торт, но Малыш ел торт, а Карлсон начал с варенья. Съев его, Карлсон помог Малышу доесть торт. За какое время они управились на этот раз?
а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга.
б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.
в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?
В школе (где училось больше 5 учеников) подвели итоги учебного года. Выяснилось, что в каждом множестве из пяти и более учеников не менее 80% двоек, полученных этими учениками в течение года, поставлены не более чем 20% процентам учеников из этого множества. Докажите, что по крайней мере три четверти всех двоек, поставленных в школе, получил один ученик.
Постройте треугольник по вершине A, центру O описанной окружности и точке Лемуана L.
Условие
Постройте треугольник по вершине A, центру O описанной окружности и точке Лемуана L.
Решение
По точкам A и O строится описанная окружность Ω.
Первый способ. Пусть XY – хорда окружности Ω с серединой в точке L, UV – параллельный этой хорде диаметр, а K – точка пересечения диагоналей трапеции с основаниями XY и UV. Рассмотрим преобразование, которое каждой точке P окружности ставит в соответствие вторую точку P' пересечения окружности с прямой KP. Оно сохраняет двойные отношения точек окружности и, следовательно, может быть продолжено до проективного преобразования плоскости. При этом преобразовании L переходит в O, значит, искомый треугольник переходит в треугольник, у которого точка Лемуана и центр описанной окружности совпадают, что возможно только в правильном треугольнике.
Отсюда получаем следующее построение. Проведём прямую AK и найдём вторую точку A' её пересечения с Ω. Впишем в Ω правильный треугольник A'B'C' и найдём вторые точки B, C пересечения прямых BK, CK с окружностью Ω. Треугольник ABC искомый.
Второй способ. Лемма. Дан треугольник ABC и точка P. При инверсии с центром A точки B, C, P переходят в B', C', P' соответственно. Окружность B'C'P' повторно пересекает прямую AP в точке Q. Тогда преобразование подобия, переводящее треугольник AC'B' в треугольник ABC, переводит Q в точку, изогонально сопряженную P.
Доказательство следует из равенств ∠ABP = ∠B'P'A = ∠B'C'Q.
Пусть при инверсии с центром A точка L переходит в L', а окружность Ω – в прямую l. Пусть прямая AL пересекает l в точке T, а точка M делит отрезок AT в отношении 2 : 1. Тогда M – центр тяжести треугольника AB'C', где B', C' – образы при инверсии вершин B и C. Согласно лемме точка M лежит на описанной окружности треугольника B'C'L', следовательно, TB'² = TB'·TC' = TM·TL'. Таким образом, мы можем построить точки B', C', а значит, и B, C.
