Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что в выпуклый центрально-симметричный многоугольник можно поместить ромб вдвое меньшей площади.
Около окружности, радиус которой равен 4, описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 26. Найдите периметр треугольника.
Две окружности радиусов 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D, причём CD = 8 и точка B лежит между точками C и D. Найдите площадь треугольника ACD.
Внутри тетраэдра расположен треугольник, проекции которого на 4 грани тетраэдра имеют площади P1, P2, P3, P4. Докажите, что а) в правильном тетраэдре P1 ≤ P2 + P3 + P4; б) если S1, S2, S3, S4 — площади соответствующих граней тетраэдра, то P1S1 ≤ P2S2 + P3S3 + P4S4.
Найдите диагонали четырёхугольника, образованного биссектрисами внутренних углов прямоугольника со сторонами 1 и 3.
В кубе ABCDA1B1C1D1 , где AA1 , BB1 , CC1 и DD1 – параллельные рёбра, плоскость P проходит через противоположные вершины A1 , C и середину ребра D1C1 . Найдите расстояние от вершины D1 до плоскости P , если ребро куба равно 6.
Какую наименьшую длину должен иметь кусок проволоки, чтобы из него можно было согнуть каркас куба с ребром 10 см?
(Проволока может проходить по одному ребру дважды, загибаться
Существует ли невырожденный треугольник АВС, для углов которого выполняется равенство: sinA + sinB = sinC?
Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка P – середина боковой стороны AB. Точка R на стороне CD выбрана так, что 2CD = 3RD. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника APQ, если AD = 2BC.
а) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет треугольников?
б) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет полного подграфа из четырёх вершин?
Дан ромб ABCD. Окружность радиуса R касается прямых AB и AD в точках B и D соответственно и пересекает сторону BC в точке L, причём 4BL = BC. Найдите площадь ромба.
На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник ABC и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки A′, B′, C′, что лучи B′C′, C′A′, A′B′ проходят через A, B, C соответственно.
|
|
 |
Условие
На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник ABC и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки A′, B′, C′, что лучи B′C′, C′A′, A′B′ проходят через A, B, C соответственно.
Решение
Пусть A0, B0, C0 – точки касания окружности ω со сторонами BC, CA, AB. Тогда искомые точки A', B', C' таковы, что четырёхугольники A'A0C'C0, B'B0A'A0 и C'C0B'B0 – гармонические (определение см. в замечании к задаче 65800). Действительно, из подобия треугольников BA'C0 и BC0C'; следует, что A'C0 : C0C' = BA' : BC0. Аналогично A'A0 : A0C' = BA' : BC0, поэтому C0A'·A0C' = A'A0·C'C0, то есть четырёхугольник A'A0C'C0 – гармонический.
Сделаем проективное преобразование, сохраняющее ω и переводящее точку пересечения прямых AA0, BB0 и CC0 в её центр (см. задачу 58424). Оно переведёт треугольник ABC в правильный. Тогда треугольники A0B0C0 и A'B'C' тоже будут правильными, а четырёхугольник A'A0C'C0 будет равнобедренной трапецией. Пусть K – середина A0C0. Условие гармоничности ∠C0A'C' = ∠KA'A0 (см. ссылки в задаче 65879) означает теперь, что ∠KA'A0 = ∠A0C0A' = ∠BA0A', откуда A'K || BC || B0C0 (см. рис.).
1-2. Проведём прямые A0C0, BB0 и найдём точку их пересечения K.
3-4. Проведём прямые BC и B0C0 и найдём точку их пересечения L.
5. Проведём прямую KL и найдём точку A' её пересечения с дугой A0C0.
6. Проведём прямую CA' и найдём точку B' её пересечения с ω.
7. Проведём прямую AB' и найдём точку C' её пересечения с ω.
