Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
На сторонах треугольника ABC внешним образом
построены квадраты с центрами P, Q и R. На сторонах
треугольника PQR внутренним образом построены квадраты.
Докажите, что их центры являются серединами сторон
треугольника ABC.
Петя вырезал из бумаги прямоугольник, положил на него такой же прямоугольник и склеил их по периметру. В верхнем прямоугольнике он провёл диагональ, опустил на неё перпендикуляры из двух оставшихся вершин, разрезал верхний прямоугольник по этим линиям и отогнул полученные треугольники во внешнюю сторону, так что вместе с нижним прямоугольником они образовали прямоугольник.
Как по полученному прямоугольнику восстановить исходный с помощью циркуля и линейки?
На числовой оси отмечено бесконечно много точек с натуральными координатами. Когда по оси катится колесо, каждая отмеченная точка, по которой проехало колесо, оставляет на нём точечный след. Докажите, что можно выбрать такое действительное $R$, что если прокатить по оси, начиная из нуля, колесо радиуса $R$, то на каждой дуге колеса величиной в $1^\circ$ будет след хотя бы одной отмеченной точки.
На витрине ювелирного магазина лежат 15 бриллиантов. Рядом с ними стоят таблички с указанием масс, на которых написано 1, 2, ..., 15 карат. У продавца есть чашечные весы и четыре гирьки массами 1, 2, 4 и 8 карат. Покупателю разрешается только один тип взвешиваний: положить один из бриллиантов на одну чашу весов, а гирьки — на другую и убедиться, что масса на соответствующей табличке указана верно. Однако за каждую взятую гирьку нужно заплатить продавцу 100 монет. Если гирька снимается с весов и в следующем взвешивании не участвует, продавец забирает её. Какую наименьшую сумму придётся заплатить, чтобы проверить массы всех бриллиантов?
В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. Прямая, проходящая через A, пересекает окружность в точках D и E. Хорда BX параллельна прямой DE. Докажите, что отрезок XC проходит через середину отрезка DE.
Дана окружность, её диаметр AB и точка C на этом диаметре. Постройте на окружности две точки X и Y, симметричные относительно диаметра AB, для которых прямая YC перпендикулярна прямой XA.
Числа a и b таковы, что первое уравнение системы
| { | sin x+a=bx |
| cos x=b |
имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.
Можно ли число 1/10 представить в виде произведения десяти положительных правильных дробей?
Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены точки $-a$ и $b$. Известно, что $a$ и $b$ — положительные числа, а их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая ближе к $-a$, то он прыгает вправо на расстояние, равное $a$. Если же он находится в середине отрезка $[-a;b]$ или в точке, которая ближе к $b$, то он прыгает влево на расстояние, равное $b$. Докажите, что независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент окажется от точки 0 на расстоянии, меньшем $10^{-6}$.
|
|
 |
Условие
Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены
точки $-a$ и $b$. Известно, что $a$ и $b$ — положительные числа, а
их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая
ближе к $-a$, то он прыгает вправо на расстояние, равное $a$. Если же
он находится в середине отрезка $[-a;b]$ или в точке, которая ближе к
$b$, то он прыгает влево на расстояние, равное $b$. Докажите, что
независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент
окажется от точки 0 на расстоянии, меньшем $10^{-6}$.
Решение
Первое решение.
Сначала покажем, что расстояние до ближайшего целого числа от числа вида $c-mq$ (где $m\in\mathbb{N}$, $q$ — иррациональное и $c$ — любое фиксированное число) можно выбором $m$ сделать сколь угодно малым. Рассмотрим $n+1$ чисел $q,2q,3q,\ldots ,(n+1)q$. Их дробные части попадают в один из $n$ промежутков $$ \left(0;\frac{1}{n} \right), \left(\frac{1}{n};\frac{2}{n}\right), \ldots, \left(\frac{n - 1}{n};1\right). $$ Тогда по принципу Дирихле найдутся два числа $m_1q$ и $m_2q$ $(m_2>m_1)$, дробные доли которых попали в один и тот же промежуток. Их разность $(m_2q-m_1q)=(m_2-m_1)q$ также является числом вида $mq$, причём, поскольку разность их дробных частей по модулю меньше $1/n$, для некоторого целого $N$ верно неравенство $$ N-\frac{1}{n}<(m_2-m_1)q < N+\frac{1}{n}. $$ Следовательно, существует такое число $\psi\in \left(-\frac{1}{n};\frac{1}{n}\right)$, что $(m_2-m_1)q=N+\psi.$ Выберем натуральное число $l$ так, что выполняется одно из двойных неравенств $l\psi\leqslant\{c\}<(l+1)\psi$ или $-(l+1)\psi<\{c\}\leqslant -l\psi$. Тогда найдётся такое целое число $K$, что $|(N+\psi)l-(K+c)|<1/n$, т.е. $$ |l(m_2-m_1)q-(K+c)|<\frac{1}{n} . $$ Следовательно, $$ -K-\frac{1}{n} < c-mq < -K+\frac{1}{n}, $$ где $m=l(m_2-m_1)\in\mathbb{N}$. Значит, расстояние от целого числа $-K$ до числа $c-mq$ меньше $1/n$. Увеличивая значение $n$, можно сделать это расстояние сколь угодно малым.
Без ограничения общности будем считать, что $b>a$. При преобразовании подобия прямой с коэффициентом $1/a$ точка $-a$ перейдёт в точку $-1$, а точка $b$ — в точку $b/a>1$. Кузнечик теперь будет прыгать на 1 вправо и на $q=b/a$ влево. В некоторый момент кузнечик пересечёт середину отрезка $[-1;q]$ прыжком на 1 вправо и попадёт в некоторую точку $c$. После этого кузнечик никогда не будет делать прыжки длины $q$ более одного раза подряд. При прыжке на 1 дробные доли точек, в которых кузнечик находился до и после прыжка, одинаковые.
Пусть кузнечик находится в точке $c$. Выберем такое натуральное число $m$, что расстояние от $c-mq$ до ближайшего целого меньше ${10^{-6}}/a$. Если кузнечик сделает $m$ прыжков влево, он будет находиться на расстоянии менее ${10^{-6}}/a$ от какого-то целого числа, независимо от того, сколько при этом он совершил прыжков вправо на 1. Поскольку точка 0 находится левее середины нашего отрезка, то, прыгая на 1 вправо, кузнечик обязательно окажется на расстоянии менее ${10^{-6}}/a$ от точки 0, а на исходной прямой — на расстоянии, меньшем $10^{-6}$ от точки 0.
Второе решение.
Независимо от своего начального положения $x_0$ кузнечик рано или поздно окажется на промежутке $ \Delta=\left[-\frac{a+b}{2}; \frac{a+b}{2}\right)$. Действительно, если $x_0<\frac{b-a}{2}$, то он будет прыгать вправо на $a$, пока не перепрыгнет точку $\frac{b-a}{2}$ и не окажется на промежутке $ \Delta_r=\left[\frac{b-a}{2}; \frac{a+b}{2}\right)\subset \Delta$, a если $x_0\geqslant \frac{b-a}{2}$, то он будет прыгать влево на $b$, пока не перепрыгнет точку $\frac{b-a}{2}$ и не окажется на промежутке $ \Delta_l=\left[-\frac{a+b}{2}; \frac{b-a}{2}\right)\subset \Delta$.
При дальнейших прыжках кузнечик уже не покинет промежутка $\Delta$: оказавшись на $\Delta_r$, он прыгает влево на $b$ и попадает на $\Delta_l$, а оказавшись на $\Delta_l$, он прыгает вправо на $a$ и попадает на $\Delta_r$.
Если склеить промежуток $\Delta$ в окружность той же длины $a+b$, то указанные прыжки кузнечика на этой окружности будут уже прыжками в одну сторону на $a$ (или в другую сторону на $b$, что на данной окружности — одно и то же).
Поскольку отношение прыжка $a$ к длине $a+b$ окружности иррационально, следы кузнечика будут всюду плотны на окружности, то есть рано или поздно кузнечик попадёт на всякую дугу окружности. Следовательно, и на исходном промежутке $\Delta$ следы кузнечика всюду плотны, так что рано или поздно он попадёт в любую наперед заданную окрестность нуля.
