Выбрано 14 задач 
Убрать все задачи
Можно ли расположить в пространстве пять сфер так, чтобы для каждой из сфер можно было провести через ее центр касательную плоскость к остальным четырем сферам? Сферы могут пересекаться и не обязаны иметь одинаковый радиус.
В Чили в феврале проходил международный турнир по футболу. Первое место с 8 очками занял местный клуб "Коло-Коло". На очко отстало московское "Динамо" и заняло второе место. Третье место с 4 очками занял бразильский клуб "Коринтианс". Четвёртое место занял югославский клуб "Црвена Звезда", также набравший 4 очка. Доказать, что по этим данным можно точно определить, сколько ещё команд участвовало в турнире и по сколько очков они набрали. (За победу присуждается 2 очка, за ничью – 1, за поражение – 0.)
Квадратная таблица из 49 клеток заполнена числами от 1 до 7 так, что в каждом столбце и в каждой строке встречаются все эти числа. Докажите, что если таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встречаются все эти числа.
Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.
Докажите, что уравнение xy(x – y) + yz(y – z) + zx(z – x) = 6 имеет бесконечно много решений в целых числах.
В остроугольном треугольнике $ABC$ ($AB$<$BC$) провели высоту $BH$. Точка $P$ симметрична точке $H$ относительно прямой, соединяющей середины сторон $AC$ и $BC$. Докажите, что прямая $BP$ содержит центр описанной окружности треугольника $ABC$.
Дан треугольник ABC. Найти геометрическое место таких точек M, что треугольники ABM и BCM – равнобедренные.
Многочлен степени $n > 1$ имеет $n$ разных корней $х_1$, $х_2$, ..., $х_n$. Его производная имеет корни $y_1$, $y_2$, ..., $y_{n-1}$. Докажите неравенство $$\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} > \frac{y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2}{n-1}.$$
Две параболы с различными вершинами являются графиками квадратных трёхчленов со старшими коэффициентами p и q. Известно, что вершина каждой из парабол лежит на другой параболе. Чему может быть равно p + q?
Докажите, что если центр вписанной в четырехугольник
окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей, то этот
четырехугольник — ромб.
На окружности с центром O даны точки
A1,..., An,
делящие ее на равные дуги, и точка X. Докажите, что
точки, симметричные X относительно прямых
OA1,..., OAn,
образуют правильный многоугольник.
Во всех клетках таблицы 100×100 стоят плюсы. Разрешается одновременно менять знаки во всех клетках одной строки или же во всех клетках одного столбца. Можно ли, пользуясь только этими операциями, получить ровно 1970 минусов?
Точка A расположена на расстоянии 50 см от центра
круга радиусом 1 см. Разрешается отразить точку симметрично
относительно любой прямой, пересекающей круг. Докажите, что:
а) за 25 отражений точку A можно к загнатьк внутрь
данного круга; б) за 24 отражения этого сделать нельзя.
В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина стороны $BC$, точка $E$ лежит внутри стороны $AC$, $BE \geqslant 2AM$. Докажите, что треугольник $ABC$ тупоугольный.
|
|
 |
Условие
В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина стороны $BC$, точка $E$ лежит внутри стороны $AC$, $BE \geqslant 2AM$. Докажите, что треугольник $ABC$ тупоугольный.
Решение 1
Пусть $X$ – середина отрезка $EC$. Тогда $MX = 0,5BE$. Как известно, чевиана треугольника меньше хотя бы одной из сторон, выходящих из той же вершины (это следует, например, из свойств наклонных и проекций). По условию, $MX \geqslant MA$, значит, $MX < MC$. Тем более, $MA < MC$. Следовательно, точка $A$ лежит внутри круга с диаметром $BC$. А это и значит, что угол $A$ тупой.
Решение 2
Пусть угол $A$ не тупой. Тогда центр $O$ описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на $BC$ или по ту же сторону от $BC$, что и вершина $A$. Значит, $2AM \geqslant 2AO = OB + OC \geqslant BC > BE$. Противоречие.
Решение 3
(Арбуханова Гульжаган) Достроим треугольник до параллелограмма $ABDC$. Пусть отрезки $AM$ и $BE$ пересекаются в точке $Y$. Так как треугольники $AYE$ и $DYB$ подобны и $BE \geqslant 2AM = AD$, то $BY \geqslant YD$. Сравнивая это с неравенством треугольника $YM + MB > BY$, получим $MB > MD$. То есть $BC$ – большая диагональ параллелограмма, т.е. угол $A$ тупой.
Замечания
5 баллов
