Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Эстафета длиной 2004 км состоит из нескольких этапов одинаковой длины, выражающейся целым числом километров. Участники команды города Энск бежали несколько дней, пробегая каждый этап ровно за один час. Сколько часов они бежали, если известно, что они уложились в неделю?
Впишите в следующее предложение какое-нибудь числительное (не цифрами, а словом или словами), чтобы предложение было верным.
В этом предложении ______________________ гласных букв.
Целое число $n$ таково, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = n$ имеет решение в целых числах.
Докажите, что тогда и уравнение $x^2 + y^2 - xy = n$ имеет решение в целых числах.
|
|
 |
Условие
Целое число $n$ таково, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = n$ имеет решение в целых числах.
Докажите, что тогда и уравнение $x^2 + y^2 - xy = n$ имеет решение в целых числах.
Решение
Решение следует из тождества $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = (x - z)^2 + (y - z)^2 - (x - z)(y - z).$
Замечания
1. Два пути к решению.
1) Естественное желание – умножить левую часть на 2 и разложить в сумму квадратов разностей. Получим
$(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 2n$, что после переобозначения примет вид $a^2 + b^2 + (a + b)^2 = 2n$, или $a^2 + b^2 + ab = n$. Осталось поменять знак у $a$.
2) Заметим, что увеличение всех переменных на одно и то же число не меняет выражения. Вычтем из всех переменных по $z$ и получим требуемое.
2. 5 баллов.
