Версия для печати
Убрать все задачи

---

В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из k цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если
  а)  k = 7;   б)  k = 10.

   Решение

---

Даны 15 целых чисел, среди которых нет одинаковых. Петя записал на доску все возможные суммы по 7 из этих чисел, а Вася – все возможные суммы по 8 из этих чисел. Могло ли случиться, что они выписали на доску одни и те же наборы чисел? (Если какое-то число повторяется несколько раз в наборе у Пети, то и у Васи оно должно повторяться столько же раз.)

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки опишите около данной окружности ромб с данным углом.

   Решение

---

Решить в целых числах уравнение  ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c = 1.

   Решение

---

Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. ( Изотомическими прямыми треугольника $ABC$ называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми $BC$, $CA$, $AB$ симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника.)

   Решение

---

Известно, что уравнение  x⁴ + ax³ + 2x² + bx + 1 = 0  имеет действительный корень. Докажите неравенство  a² + b² ≥ 8.

   Решение

---

Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.

   Решение

---

Докажите, что число
  а)  97⁹⁷,
  б)  1997¹⁷
нельзя представить в виде суммы кубов нескольких идущих подряд натуральных чисел.

   Решение

---

Докажите, что если

то один из углов треугольника ABC равен 60^o.

   Решение

---

Докажите, что  16Rr - 5r² p² 4R² + 4Rr + 3r².

   Решение

---

В некоторых клетках квадрата 200×200 стоит по одной фишке – красной или синей; остальные клетки пусты. Одна фишка видит другую, если они находятся в одной строке или одном столбце. Известно, что каждая фишка видит ровно пять фишек другого цвета (и, возможно, некоторое количество фишек своего цвета). Найдите наибольшее возможное количество фишек.

   Решение

---

Окружности $s_1$ и $s_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках $P_1$ и $P_2$. Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой $P_1A\cdot AP_2$ принимает наибольшее значение.

   Решение

---

В таблице 2005×2006 расставлены числа 0, 1, 2 так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке делится на 3.
Какое наибольшее возможное количество единиц может быть в этой таблице?

   Решение

---

Дан треугольник ABC. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, постройте на стороне AB такую точку D, что
AD : BD = BC : AC.

   Решение

---

Дан треугольник $ABC$. Прямая $AB$ касается его вписанной окружности в точке $C'$, а вневписанной, касающейся стороны $BC$, – в точке $C'_a$. Аналогично определяются точки $C'_b$, $C'_c$, $A'$, $A'_a$, $A'_b$, $A'_c$, $B'$, $B'_a$, $B'_b$, $B'_c$. Рассмотрим длины 12 отрезков – высот треугольников $A'B'C'$, $A'_aB'_aC'_a$, $A'_bB'_bC'_b$, $A'_cB'_cC'_c$.

а) Какое наибольшее число различных может быть среди них?

б) Найдите все возможные количества различных длин.

   Решение

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник $ABC$. Прямая $AB$ касается его вписанной окружности в точке $C'$, а вневписанной, касающейся стороны $BC$, – в точке $C'_a$. Аналогично определяются точки $C'_b$, $C'_c$, $A'$, $A'_a$, $A'_b$, $A'_c$, $B'$, $B'_a$, $B'_b$, $B'_c$. Рассмотрим длины 12 отрезков – высот треугольников $A'B'C'$, $A'_aB'_aC'_a$, $A'_bB'_bC'_b$, $A'_cB'_cC'_c$.

а) Какое наибольшее число различных может быть среди них?

б) Найдите все возможные количества различных длин.

Решение

а) Заметим, что прямые $A'B'$ и $A'_cB'_c$ перпендикулярны биссектрисе угла $C$. Кроме того, $BA'=AB'_c=p-b$ и $AB'=BA'_c=p-a$, где $a$, $b$, $c$, $p$ – длины сторон и полупериметр треугольника $ABC$. Поэтому расстояния от $A$ до $A'B'$ и от $B$ до $A'_cB'_c$ равны. Аналогично равны расстояния от $B$ до $A'B'$ и от $A$ до $A'_cB'_c$. А, поскольку $AC'=BC'_c$, то и высоты треугольников $A'B'C'$, $A'_cB'_cC'_c$ из $C'$, $C'_c$ соответственно также равны. Аналогично получаем равенства еще пяти пар высот, т.е. среди 12 отрезков всегда есть шесть пар равных.

б) Углы треугольника $A'B'C'$ равны $\frac{\pi - A}{2}$, $\frac{\pi - B}{2}$, $\frac{\pi-C}{2}$, а треугольника $A'_cB'_cC'_c$ – $\frac{A}{2}$, $\frac{B}{2}$, $\frac{\pi-C}{2}$. По теореме синусов высоты этих треугольников равны $2 r \cos\frac{A}{2} \cos\frac{B}{2}$, $2 r \cos\frac{A}{2} \cos\frac{C}{2}$, $2r \cos\frac{B}{2} \cos\frac{C}{2}$ и $2 r_c \sin\frac{A}{2} \sin\frac{B}{2}$, $2 r_c \sin\frac{A}{2} \cos\frac{C}{2}$, $2 r_c \sin\frac{B}{2} \cos\frac{C}{2}$, где $r$, $r_c$ – радиусы вписанной и вневписанной окружностей. Аналогичными формулами задаются высоты двух оставшихся треугольников. При этом из п.а) получаем, что $r : r_c = \operatorname{tg}\frac{A}{2} \operatorname{tg}\frac{B}{2}$. Поэтому при $B = \pi/2$ получаем, что $2 r \cos\frac{A}{2} = 2 r_c \sin\frac{A}{2}$, т.е. мы имеем уже четыре равных высоты. Соответственно в неравнобедренном прямоугольном треугольнике будет пять различных длин, в равнобедренном непрямоугольном – четыре, в равнобедренном прямоугольном – три и в равностороннем – две.

Источники и прецеденты использования