В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^{\circ}$) вписанная окружность касается катета $BC$ в точке $K$. Докажите, что хорда вписанной окружности, высекаемая прямой $AK$ в два раза больше, чем расстояние от вершины $C$ до этой прямой.

   Решение

Постройте четырехугольник ABCD по четырем углам и длинам сторон AB = a и CD = b.

   Решение

Трапеция $ABCD$ вписана в окружность. Её основание $AB$ в 3 раза больше основания $CD$. Касательные к описанной окружности в точках $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что угол $KDA$ прямой.

   Решение

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Расстояния от точек A, B и P до прямой CD равны a, b и p. Докажите, что площадь четырехугольника ABCD равна  ab ^. CD/2p.

   Решение

Можно ли поместить правильный треугольник внутрь правильного шестиугольника так, чтобы из любой вершины шестиугольника были видны все три вершины треугольника? (Точка $A$ видна из точки $B$, если отрезок $AB$ не содержит внутренних точек треугольника.)

   Решение

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Наглядная геометрия ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Можно ли поместить правильный треугольник внутрь правильного шестиугольника так, чтобы из любой вершины шестиугольника были видны все три вершины треугольника? (Точка $A$ видна из точки $B$, если отрезок $AB$ не содержит внутренних точек треугольника.)

Решение

Точки, из которых видны все вершины правильного треугольника $XYZ$, лежат в трех углах, вертикальных к углам треугольника. Если в каждом из этих углов лежат две вершины шестиугольника, то его главные диагонали не могут пересекаться в одной точке. Иначе какие-то две несоседние вершины шестиугольника лежат в одном угле, скажем несоседние вершины $A$ и $B$ лежат в угле, вертикальном с углом $X$. Тогда $\angle AXB\leq 60^{\circ}$, и $X$ лежит на дуге $AB$, лежащей вне шестиугольника.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования