Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существует ли кусочно-линейная функция f, определённая на отрезке  [–1, 1]  (включая концы), для которой  f(f(x))= – x  при всех x?
(Функция называется кусочно-линейной, если её график есть объединение конечного числа точек и интервалов прямой; она может быть разрывной.)

   Решение

---

С натуральным числом K производится следующая операция: оно представляется в виде произведения простых сомножителей  K = p₁p₂...p_n;  затем вычисляется сумма  p₁ + p₂ + ... + p_n + 1.  С полученным числом производится то же самое, и т.д.
Доказать, что образующаяся последовательность, начиная с некоторого номера, будет периодической.

   Решение

---

Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?

   Решение

Темы:    [ Теория игр (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?

Решение

Докажем, что для любого натурального $n\leqslant 10$ первый игрок на своём $n$-м ходе может добиться, чтобы количество забранных из кучки камней равнялось $n^2$, и второй игрок не сможет ему помешать. Доказательство проведём индуктивно. В свой первый ход первый игрок забирает один камень, т. е. число забранных камней равно $1^2$. Пусть в свой $n$-й ход первому игроку удалось сделать так, чтобы количество забранных камней равнялось $n^2$. В свой $n$-й ход второй игрок может взять от 1 до $2n$ камней. Поскольку $(n+1)^2-n^2=2n+1$, после его хода общее количество забранных камней будет больше $n^2$ и меньше $(n+1)^2$. Первый игрок в свой следующий ход может взять от 1 до $2n+1$ камня и точно сможет обеспечить $(n+1)^2$ забранных камней независимо от предыдущего хода второго игрока. Таким образом, поскольку $100=10^2$, побеждает первый игрок: ему достаточно каждый раз забирать такое число камней, чтобы общее число забранных камней было точным квадратом, и на своём 10-м ходе он возьмёт последний камень.

Ответ

Первый игрок.

Замечания

Если исходная кучка содержит от $n^2$ до $n^2+n-1$ камней, то выигрышная стратегия есть у первого игрока, а если от $n^2+n$ до $n^2+2n$, то у второго.

Источники и прецеденты использования