Версия для печати
Убрать все задачи

---

Решите в натуральных числах уравнение  (1 + n^k)^l = 1 + n^m,  где  l > 1.

   Решение

---

На экране компьютера напечатано некоторое натуральное число, кратное 7, и отмечен курсором промежуток между какими-то двумя его соседними цифрами.
Докажите, что существует такая цифра, что если её впечатать в отмеченный промежуток любое число раз, получится число, делящееся на 7.

   Решение

---

Касательная в точке B к описанной окружности S треугольника ABC пересекает прямую AC в точке K. Из точки K проведена вторая касательная KD к окружности S. Докажите, что BD — симедиана треугольника ABC.

   Решение

---

Докажите для каждого натурального числа  n > 1  равенство:   [n^1/2] + [n^1/3] + ... + [n^1/n] = [log₂n] + [log₃n] + ... + [log_nn].

   Решение

---

Несколько (конечное число) точек плоскости окрашены в четыре цвета, причём есть точки каждого цвета. Никакие три из этих точек не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся три разных (возможно, пересекающихся) треугольника, каждый из которых имеет вершины трёх разных цветов и не содержит внутри себя окрашенных точек.

   Решение

---

К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.

   Решение

---

Дана клетчатая полоса  1×N.  Двое играют в следующую игру. На очередном ходу первый игрок ставит в одну из свободных клеток крестик, а второй – нолик. Не разрешается ставить в соседние клетки два крестика или два нолика. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Кто из игроков может всегда выиграть (как бы ни играл его соперник)?

   Решение

---

У математика есть набор из 16 гирь: 1/3 кг, 1/4 кг, 1/5 кг, ..., 1/18 кг. На левой чаше весов лежит груз 1 кг. Какие гири положить на правую чашу весов, чтобы уравновесить груз? (Достаточно привести один пример.)

   Решение

Темы:    [ Обыкновенные дроби ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 5,6,7

Прислать комментарий

Условие

У математика есть набор из 16 гирь: 1/3 кг, 1/4 кг, 1/5 кг, ..., 1/18 кг. На левой чаше весов лежит груз 1 кг. Какие гири положить на правую чашу весов, чтобы уравновесить груз? (Достаточно привести один пример.)

Ответ

Есть три варианта: $$1 = \frac13 + \frac14 + \frac16 + \frac19 + \frac1{12} + \frac1{18},$$ $$1 = \frac13 + \frac14 + \frac16 + \frac1{10} + \frac1{12} + \frac1{15},$$ $$1 = \frac13 + \frac14 + \frac19 + \frac1{10} + \frac1{12} + \frac1{15} + \frac1{18}.$$

Замечания

Легко получить $\frac12$ как сумму $\frac13$ и $\frac16$. Осталось набрать ещё $\frac12$. Гири $\frac13$ и $\frac16$ мы использовать больше не можем, но можем «собрать» $\frac13$ как $\frac14 + \frac1{12}$, а $\frac16$ — как $\frac19 + \frac1{18}$ или $\frac1{10} + \frac1{15}$. Можно также не использовать гирю $\frac16$ вообще, взяв и $\frac19 + \frac1{18}$, и $\frac1{10} + \frac1{15}$.

Источники и прецеденты использования