Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Кресла для зрителей вдоль лыжной трассы занумерованы по порядку: 1, 2, 3, ..., 1000. Кассирша продала n билетов на все первые 100 мест, но n больше 100, так как на некоторые места она продала больше одного билета (при этом n < 1000). Зрители входят на трассу по одному.Каждый, подойдя к своему месту, занимает его, если оно свободно, если же занято, говорит "Ох!", идёт в сторону роста номеров до первого свободного места и занимает его. Каждый раз, обнаружив очередное место занятым, он говорит "Ох!". Докажите, что число "охов" не зависит от того, в каком порядке зрители выходят на трассу.
а) В треугольник ABC вписаны треугольники A1B1C1 и A2B2C2 так, что C1A1 ⊥ BC, A1B1 ⊥ CA, B1C1 ⊥ AB, B2A2 ⊥ BC, C2B2 ⊥ CA,
A2C2 ⊥ AB. Докажите, что эти треугольники равны.
б) Внутри треугольника ABC взяли точки A1, B1, C1, A2, B2, C2 так, что A1 - на отрезке AB1, B1 - на отрезке BC1, C1 – на отрезке CA1, A2 – на отрезке AC2, B2 – на отрезке BA2, C2 – на отрезке CB2 и углы BAA1, CBB1, ACC1, CAA2, ABB2, BCC2 равны. Докажите, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 равны.
Последовательность (an) задана условиями a1= 1000000 , an+1=n[]+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
a, b, c – целые числа, причём a + b + c делится на 6. Докажите, что a³ + b³ + c³ тоже делится на 6.
Целые неотрицательные числа x и y удовлетворяют равенству x² – mxy + y² = 1 (1) тогда и только тогда, когда x и y – соседние члены последовательности (2): a0 = 0, a1 = 1, a2 = m, a3 = m² – 1, a4 = m³ – 2m, a5 = m4 – 3m² + 1, ..., в которой ak+1 = mak – ak–1 для любого k 0. Докажите это.
К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.
Найдите суммы
а) 1·n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + n·1.
б) Sn,k = (1·2·...·k)·(n(n – 1)...(n – k + 1)) + (2·3·...·(k + 1))·((n – 1)(n – 2)...(n – k)) + ... + ((n – k + 1)(n – k + 2)...·n)·(k(k – 1)·...·1).
|
|
 |
Условие
Найдите суммы
а) 1·n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + n·1.
б) Sn,k = (1·2·...·k)·(n(n – 1)...(n – k + 1)) + (2·3·...·(k + 1))·((n – 1)(n – 2)...(n – k)) + ... + ((n – k + 1)(n – k + 2)...·n)·(k(k – 1)·...·1).
Решение
а) Найдём сначала сумму вида 1·2 + 2·3 + 3·4 + ... + (n – 1)n.
Заметим, что 3k(k + 1) = k(k + 1)(k + 2) – (k – 1)k(k + 1). Сложив эти равенства по k от 1 до n – 1, получим, что
3(1·2 + 2·3 + 3·4 + ... + (n – 1)n = (n – 1)n(n + 1).
Вернёмся к решению задачи.
1·n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + n·1 = (n·n – (n – 1)n) + (n(n – 1) – (n – 2)(n – 1)) + (n(n – 2) – (n – 3)(n – 2)) + ... + n·1 =
б) Заметим, что
Расположим в ряд n + k шаров. Каждое слагаемое вида представляет собой число выборок по 2k шаров из этого ряда, но не всех возможных, а таких, когда сперва выбирают k из первых k + m шаров, а затем ещё k шаров из оставшихся n – m.
Суммирование таких слагаемых по m от 0 до n – k можно интерпретировать так: сначала вставим в ряд шаров перегородку, слева и справа от которой находится не менее, чем по k шаров, а потом выберем k шаров слева и k шаров справа от нее.
Вместо этого можно поступить по-другому: возьмём ряд из n + k + 1 шара и выберем 2k + 1 из них; затем средний из выбранных шаров заменим перегородкой.
Отсюда ясно, что и, следовательно,
Ответ
а) б)
