Версия для печати
Убрать все задачи

---

Квадратный трёхчлен  f(x) = ax² + bx + c  таков, что уравнение  f(x) = x  не имеет вещественных корней.
Докажите, что уравнение  f(f(x)) = x  также не имеет вещественных корней.

   Решение

---

Подряд выписаны n чисел, среди которых есть положительные и отрицательные. Подчеркивается каждое положительное число, а также каждое число, сумма которого с несколькими непосредственно следующими за ним числами положительна. Докажите, что сумма всех подчеркнутых чисел положительна.

   Решение

---

Докажите, что если в треугольной пирамиде любые два трехгранных угла равны или симметричны, то все грани этой пирамиды равны.

   Решение

---

Окружность ω описана около остроугольного треугольника ABC. На стороне AB выбрана точка D, а на стороне BC – точка E так, что  DE || AC.  Точки P и Q на меньшей дуге AC окружности ω таковы, что  DP || EQ.  Лучи QA и PC пересекают прямую DE в точках X и Y соответственно. Докажите, что  ∠XBY + ∠PBQ = 180°.

   Решение

---

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Пусть ω – его описанная окружность, точка M – середина стороны BC, P – вторая точка пересечения описанной окружности треугольника AB₁C₁ и ω, T – точка пересечения касательных к ω, проведённых в точках B и C, S – точка пересечения AT и ω. Докажите, что P, A₁, S и середина отрезка MT лежат на одной прямой.

   Решение

---

Пусть A₁, B₁,..., F₁ — середины сторон AB, BC,..., FA произвольного шестиугольника. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников A₁C₁E₁ и B₁D₁F₁ совпадают.

   Решение

---

Дана равнобокая трапеция $ABCD$ ($AB=CD$). На описанной около неё окружности выбирается точка $P$ так, что отрезок $CP$ пересекает основание $AD$ в точке $Q$. Пусть $L$ – середина $QD$. Докажите, что длина диагонали трапеции не превосходит суммы расстояний от середин её боковых сторон до любой точки прямой $PL$.

   Решение

---

На сферической планете с длиной экватора 1 планируют проложить N кольцевых дорог, каждая из которых будет идти по окружности длины 1. Затем по каждой дороге запустят несколько поездов. Все поезда будут ездить по дорогам с одной и той же положительной постоянной скоростью, никогда не останавливаясь и не сталкиваясь. Какова в таких условиях максимально возможная суммарная длина всех поездов? Поезда считайте дугами нулевой толщины, из которых выброшены концевые точки. Решите задачу в случаях:  а)  N = 3;  б)  N = 4.

   Решение

---

Стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырехугольника $ABCD$ касаются окружности с центром $I$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. На прямой $AI$ выбрана произвольная точка $P$. Прямая $PK$ пересекает прямую $BI$ в точке $Q$. Прямая $QL$ пересекает прямую $CI$ в точке $R$. Прямая $RM$ пересекает прямую $DI$ в точке $S$. Докажите, что точки $P$, $N$ и $S$ лежат на одной прямой.

   Решение

---

а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.

   Решение

---

Дан остроугольный треугольник A₀B₀C₀. Пусть точки A₁, B₁, C₁ — центры квадратов, построенных на сторонах B₀C₀, C₀A₀, A₀B₀. С треугольником A₁B₁C₁ делаем то же самое. Получаем треугольник A₂B₂C₂ и т.д. Доказать, что A_{n + 1}B_{n + 1}C_{n + 1} пересекает A_nB_nC_n ровно в 6 точках.

   Решение

---

По заданной последовательности положительных чисел  q₁,..., q_n, ...  строится последовательность многочленов следующим образом:
    f₀(x) = 1,
    f₁(x) = x,
      ...
    f_n+1(x) = (1 + q_n)xf_n(x) – q_nf_n–1(x).
Докажите, что все вещественные корни n-го многочлена заключены между –1 и 1.

   Решение

---

а) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством: ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых делится на третье?

б) Если нет, то как много чисел может быть в наборе, обладающем таким свойством?

в) Решите ту же задачу при дополнительном условии: в набор разрешено включать только нечётные числа.

Вот пример такого набора из четырёх чисел: 3, 5, 7, 107. Здесь среди трёх чисел 3, 5, 7 сумма  5 + 7  делится на 3; в тройке 5, 7, 107 сумма  107 + 5  делится на 7; в тройке 3, 7, 107 сумма  7 + 107  делится на 3; наконец, в тройке 3, 5, 107 сумма  3 + 107  делится на 5.

   Решение

---

Двое играют в следующую игру. Один называет цифру, а другой вставляет её по своему усмотрению вместо одной из звёздочек в следующей разности:

**** – ****.

Затем первый называет ещё одну цифру, второй ставит её, первый опять называет цифру, и так играют до тех пор, когда все звёздочки будут заменены цифрами. Первый стремится к тому, чтобы разность получилась как можно больше, а второй — чтобы она стала как можно меньше. Докажите, что

а) второй может расставлять цифры так, чтобы полученная разность стала не больше 4000, независимо от того, какие цифры называл первый;

б) первый может называть цифры так, чтобы разность стала не меньше 4000, независимо от того, куда расставляет цифры второй.

   Решение

Темы:    [ Ребусы ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 7+ Классы:

Прислать комментарий

Условие

Двое играют в следующую игру. Один называет цифру, а другой вставляет её по своему усмотрению вместо одной из звёздочек в следующей разности:

**** – ****.

Затем первый называет ещё одну цифру, второй ставит её, первый опять называет цифру, и так играют до тех пор, когда все звёздочки будут заменены цифрами. Первый стремится к тому, чтобы разность получилась как можно больше, а второй — чтобы она стала как можно меньше. Докажите, что

а) второй может расставлять цифры так, чтобы полученная разность стала не больше 4000, независимо от того, какие цифры называл первый;

б) первый может называть цифры так, чтобы разность стала не меньше 4000, независимо от того, куда расставляет цифры второй.

Решение

Приведем решение для общего случая, когда в каждой строчке не 4 , а n звездочек. Докажем, что при наилучшей игре противников разность окажется равной 4 · 10^n-1 .

а) Стратегия второго игрока.

Если первая цифра, названная первым игроком, 4 или меньше, второй игрок ставит ее вместо старшего разряда уменьшаемого. После этого, как только первый игрок назовет цифру, отличную от 0 , второй заполняет ею старший разряд вычитаемого. Разность окажется не большей чем n- n<4 · 10^n-1 . Если первый игрок, начиная со второго хода, каждый раз называет 0 , то разность также будет меньше, или равна 4 · 10^n-1 .

Если первый игрок начинает с цифр 5, 6, 7, 8 или 9 , второй ставит ее на место старшего разряда вычитаемого, а затем занимает старший разряд уменьшаемого первой же названной цифрой, отличной от 9 . Даже если все последующие цифры– девятки, то также получится разность, не превосходящая 4 · 10^n-1 .

б) Стратегия первого игрока.

До тех пор пока остаются свободными старшие разряды уменьшаемого и вычитаемого, первый игрок называет цифры 4 и 5 . Начиная с момента, когда второй игрок заполнит один из двух старших разрядов, и до конца игры первый игрок называет 0 , если раньше оказался заполненным старший разряд уменьшаемого, и 9 – в противном случае. Остается уточнить, в каких случаях первый игрок называет цифру 4 , а в каких– цифру 5 .

Перед очередным своим ходом первый игрок мысленно проставляет нули во всех незаполненных разрядах. Если после этого разность оказывается неотрицательной, он объявляет цифру 4 , если же разность отрицательна– цифру 5 .

Докажем, что описанная стратегия первого игрока позволяет ему сделать разность не меньшей 4 · 10^n-1 .

Если старший разряд вычитаемого займет цифра 4 , то в старшем разряде уменьшаемого окажется цифра 9 :

n-n>4 · 10^n-1.

Если старший разряд уменьшаемого заполнит цифра 5 , то старший разряд вычитаемого займет цифра 0 ,а

n-n>4 · 10^n-1.

Предположим, что первый игрок назвал цифру 4 , а второй заполнил ею старший разряд уменьшаемого. Перед этим ходом разность была неотрицательной, после хода она увеличилась на 4 · 10^n-1 и больше не изменялась, так как при всех следующих ходах первый игрок называл 0 .

Осталось рассмотреть случай, когда первый игрок назвал цифру 5 , а второй заполнил ею старший разряд вычитаемого. Разобьем цифры, называемые первым игроком, на серии, объединяя в серию одинаковые цифры, идущие подряд. Будем считать, что второй игрок не ставит друг под другом одинаковые цифры, в противном случае их можно было бы перечеркнуть и не рассматривать при дальнейших рассуждениях. Докажем теперь, что каждая серия из четверок кончается так:

То, что первая серия кончается так, очевидно. Пусть s -ая серия из четверок кончается таким образом. Покажем, что и s+1 -ая серия закончится так же. После s -ой серии четверок пойдет серия из пятерок. Рассмотрим самую левую пятерку из этой серии (напомним, что перечеркнутых цифр мы не рассматриваем!). Ясно, что она попадет в уменьшаемое в разряд с номером, меньшим m , а под ней стоит либо звездочка, либо, если она попала в m-1 -ый разряд, четверка. Эта пятерка– последняя в своей серии. Действительно, после того, как она поставлена, разность становится положительной и первый начнет объявлять четверки. Если рассмотреть теперь самую левую четверку из s+1 -ой серии, то, с помощью таких же рассуждений можно убедиться, что она стоит в вычитаемом в разряде, более близком к первому, чем последняя пятерка из предыдущей серии, над ней стоит звездочка и что она– последняя в своей серии.

Поэтому после того, как названа последняя четверка, возникнет следующая ситуация

После этого первый игрок один или несколько раз назвал цифру 5 и, так как после каждого его хода уменьшаемое оставалось меньше вычитаемого (при мысленной замене звездочек нулями), то перед объявлением девяток возникло следующее положение

где для каждого i=2, 3, ..., k-1 либо a_i=a'_i , либо a'_i=5 и a_i – звездочка, причем разность чисел

отрицательна. Действительно, если бы она была положительна, то перед объявлением девяток первый игрок объявил бы четверку, а нулем она быть не может, поскольку a_k либо звездочка, либо пятерка. С другой стороны, ясно, что если при i<k a_i и a'_i – не звездочки, то a_i=a'_i ; действительно, они совпадали в момент объявления последней четверки. Поэтому для некоторого j k a_j – звездочка, а под ней стоит четверка или пятерка. Но тогда ясно, что окончательная разность не меньше 4 · 10^n-1+3 · 10^n-j>4 · 10^n-1 . Задача решена.

Источники и прецеденты использования