Выбрано 15 задач 
Убрать все задачи
В последовательности цифр 1234096... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр.
Встретятся ли в этой последовательности подряд четыре цифры 8123?
| 1 | ||||||||||||||
| 1 | 1 | |||||||||||||
| 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 1 | 2 | 2 | 1 | |||||||||||
| 1 | 3 | 6 | 3 | 1 | ||||||||||
| 1 | 5 | 15 | 15 | 5 | 1 | |||||||||
| 1 | 8 | 40 | 60 | 40 | 8 | 1 | ||||||||
| 1 | 13 | 104 | 260 | 260 | 104 | 13 | 1 |
Данная таблица аналогична треугольнику Паскаля и состоит из фибоначчиевых коэффициентов
а) Докажите, что фибоначчиевы коэффициенты обладают свойством симметрии
б) Найдите формулу, которая выражает коэффициент через
и
(аналогичную равенству б) из задачи 60413).
в) Объясните, почему все фибоначчиевы коэффициенты являются целыми числами.
На медиане BM и на биссектрисе BK
треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки D и
E так, что
DK || AB и
EM || BC. Докажите, что
EDBK.
Точки M и N расположены на стороне BC треугольника ABC, а точка K — на стороне AC, причём BM : MN : NC = 1 : 1 : 2 и CK : AK = 1 : 4. Известно, что площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь четырёхугольника AMNK.
Полуокружность с диаметром AD касается катета BC прямоугольного треугольника ABC в точке М (см. рисунок).
Докажите, что AM – биссектриса угла BAC.
В трапеции ABCD основание AB в три раза больше основания CD. На основании CD взята точка M, причём MC = 2MD. N – точка пересечения прямых BM и AC. Найдите отношение площади треугольника MNC к площади всей трапеции.
На основании равнобедренного треугольника, равном 8, как на хорде построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника.
Найдите радиус окружности, если высота, опущенная на основание треугольника, равна 3.
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне, притиволежащему углу и медиане, проведённой из вершины одного из прилежащих углов.
Окружность с центром в точке O делит отрезок AO пополам. Найдите угол между касательными, проведёнными из точки A.
Одна из двух прямых, проходящих через точку M, касается
окружности в точке C, а вторая пересекает эту окружность в точках A
и B, причём A — середина отрезка BM. Известно, что MC = 2 и
BMC = 45o. Найдите радиус окружности.
a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Пусть
p = +
+
и
q =
+
+
. Докажите, что | p - q| < 1.
Дан прямоугольный треугольник ABC. Пусть M – середина гипотенузы AB, O – центр описанной окружности ω треугольника CMB. Прямая AC вторично пересекает окружность ω в точке K. Прямая KO пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке L. Докажите, что прямые AL и KM пересекаются на описанной окружности треугольника ACM.
При каких натуральных n число ( + 1)n – (
– 1)n будет целым?
a1 = a2 = 1, an+1 = anan–1 + 1. Доказать, что an не делится на 4.
Для любого натурального числа n сумма делится
|
|
 |
Условие
Для любого натурального числа n сумма делится
Решение
Обозначим нашу сумму через sn. Будем вести индукцию по n.
База. s1 = 1 делится на 20, s2 = 2 делится на 21.
Шаг индукции. Обозначим и заметим, что
Поскольку an – bn = (an–1 – bn–1)(a + b) – ab(an–2 – bn–2) = 2(an–1 – bn–1) + 1972(an–2 – bn–2), то и sn = 2sn–1 + 4·493sn–2.
По предположению индукции sn–1 кратно 2n–2, sn–2 кратно 2n–3; значит, sn делится на 2n–1.
