Докажите, что если точка пересечения высот остроугольного треугольника делит высоты в одном и том же отношении, то треугольник правильный.

   Решение

В треугольнике ABC медианы AA₀, BB₀, CC₀ пересекаются в точке M.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников MA₀B₀, MCB₀, MA₀C₀, MBC₀ и точка M лежат на одной окружности.

   Решение

В таблице m строк, n столбцов. Горизонтальным ходом называется такая перестановка элементов таблицы, при которой каждый элемент остаётся в той строке, в которой он был и до перестановки; аналогично определяется вертикальный ход ("строка" в предыдущем определении заменяется на "столбец"). Укажите такое k, что за k ходов (любых) можно получить любую перестановку элементов таблицы, но существует такая перестановка, которую нельзя получить за меньшее число ходов.

   Решение

В банде 101 террорист. Все вместе они в вылазках ни разу не участвовали, а каждые двое встречались в вылазках ровно по разу.
Докажите, что один из террористов участвовал не менее чем в 11 различных вылазках.

   Решение

Точки D и E делят стороны AC и AB правильного треугольника ABC в отношениях  AD : DC = BE : EA = 1 : 2. Прямые BD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что  AOC = 90^o.

   Решение

Петя увидел на доске несколько различных чисел и решил составить выражение, среди значений которого все эти числа есть, а других нет. Составляя выражение, Петя может использовать какие угодно числа, особый знак "±", а также обычные знаки "+", "–", "×" и скобки. Значения составленного выражения он вычисляет, выбирая для каждого знака "±" либо "+", либо "–" во всех возможных комбинациях. Например, если на доске были числа 4 и 6, подойдёт выражение  5 ± 1,  а если на доске были числа 1, 2 и 3, то подойдёт выражение  (2 ± 0,5) ± 0,5.  Возможно ли составить необходимое выражение, если на доске были написаны
  а) числа 1, 2, 4;
  б) любые 100 различных действительных чисел?

   Решение

Пароход шёл от Нижнего Новгорода до Астрахани 5 суток, а обратно – 7 суток. Сколько дней плывут плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани?

   Решение

Темы:    [ Задачи на движение ] [ Средние величины ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пароход шёл от Нижнего Новгорода до Астрахани 5 суток, а обратно – 7 суток. Сколько дней плывут плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани?

Решение 1

Пусть расстояние от Нижнего до Астрахани равно S. Тогда скорость парохода по течению равна ^S/₅, а против течения – ^S/₇. Следовательно, скорость течения (а значит, и плотов) равна  ½ (^S/₅ – ^S/₇) = ^S/₃₅.

Решение 2

Пусть одновременно из Нижнего вышли плоты и пароход. Относительно плотов пароход двигается со своей собственной скоростью; раз он пять суток отплывал от плотов, то за пять суток к ним вернётся. Следовательно, за 10 суток плоты проплывают столько, сколько пароход за двое суток проходит против течения. Пароход против течения идёт 7 суток, поэтому плоты будут в пути 35 суток.

Решение 3

Скорость течения – среднее арифметическое скорости парохода по течению и скорости парохода против течения, взятого с обратным знаком. Время в пути обратно пропорционально скорости, следовательно, время плотов в пути (в сутках) есть среднее гармоническое чисел 5 и –7.  

Ответ

35 суток.

Источники и прецеденты использования