Выбрано 14 задач 
Убрать все задачи
Для каких n существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из n звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?
Натуральное число умножили на 5, результат снова умножили на 5 и так далее, всего сделали $k$ умножений. Оказалось, что в десятичной записи исходного числа и полученных $k$ чисел нет
цифры 7. Докажите, что существует натуральное число, которое можно $k$ раз умножить на 2, и снова ни в одном числе не будет цифры 7 в его десятичной записи.
99 прямых разбивают плоскость на n частей. Найдите все возможные значения n, меньшие 199.
Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой — целое число (не равное 0 и -1). Докажите, что сумма любого числа произвольно выбранных её членов не может равняться никакому члену этой прогрессии.
а) Существует ли последовательность натуральных чисел a1, a2, a3, ..., обладающая следующим свойством: ни один член последовательности не равен сумме нескольких других и an ≤ n10 при любом n?
б) Тот же вопрос, если an ≤ n при любом n.
Даны 3 скрещивающиеся прямые. Докажите, что они будут общими перпендикулярами к своим общим перпендикулярам.
В трёхгранный угол с вершиной S вписана сфера с центром в точке O.
Докажите, что плоскость, проходящая через три точки касания, перпендикулярна к
прямой SO.
Покажите, что для любой последовательности $a_0$, $a_1$, ..., $a_n$, ..., состоящей из единиц и минус единиц, найдутся такие $n$ и $k$, что $|a_0a_1...a_k + a_1a_2...a_{k+1} + ... + a_na_{n+1}...a_{n+k}| = 2017.$
Найдите соотношение между
ABC разбит прямой BD на два треугольника. Докажите, что сумма
радиусов окружностей, вписанных в
ABD и
DBC, больше радиуса
окружности, вписанной в
ABC.
Из точки C проведены касательные CA и CB к окружности O. Из произвольной точки N окружности опущены перпендикуляры ND, NE, NF соответственно на прямые A, CA и CB. Докажите, что ND есть среднее геометрическое чисел NE и NF.
На координатной плоскости xOy построена парабола y = x². Затем начало координат и оси стёрли.
Как их восстановить с помощью циркуля и линейки (используя имеющуюся параболу)?
Докажите, что если бесконечное множество точек обладает тем свойством, что
расстояние между любыми двумя точками является целым числом, то все эти точки
лежат на одной прямой.
Дана последовательность целых чисел, построенная следующим образом: a1 — произвольное трёхзначное число, a2 — сумма квадратов его цифр, a3 — сумма квадратов цифр числа a2 и т.д. Докажите, что в последовательности a1, a2, a3, ...обязательно встретится либо 1, либо 4.
|
|
 |
Условие
Дана последовательность целых чисел, построенная следующим образом:
a1 — произвольное трёхзначное число,
a2 — сумма квадратов его цифр,
a3 — сумма квадратов цифр числа a2 и т.д. Докажите, что в
последовательности a1, a2, a3, ...обязательно встретится либо 1,
либо 4.
Решение
Прежде всего заметим, что
a292 . 3 = 243, а значит,
a3
22 + 92 . 2 = 166. Если
100
a3
166, то
a4
1 + 62 + 92 = 118, а если
100
a4
166, то
a5
2 + 64 < 100.
Поэтому достаточно проверить требуемое утверждение лишь для чисел, не
превосходящих 99. Это делается непосредственной проверкой. Мы будем
выписывать последовательность до тех пор пока не встретится 1, 4
или число, уже встречавшееся ранее. При этом мы будем учитывать, что
перестановка цифр и добавление (удаление) нуля не влияет на дальнейшие члены
последовательности. В результате получим следующие последовательности:
2, 4;
3, 9, 81, 65, 61, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4;
5, 25, 29, 85;
6, 36, 45, 41, 17, 50;
7, 49, 97, 130, 10;
8, 64, 42;
11, 2;
12, 5;
15, 26, 40;
19, 82, 68, 100;
27, 53, 34, 25;
33, 36;
35, 34;
38, 73;
39, 90;
44, 32;
47, 65;
48, 80;
55, 50;
57, 74;
59, 106;
66, 72;
67, 85;
69, 117, 51;
77, 98;
78, 113, 11;
88, 128, 69;
99, 162, 41.
