Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Несколько человек стоят прямоугольником. В каждой шеренге выбрали самого нижнего, в каждом ряду самого высокого. Кто выше: самый низкий из высоких или самый высокий из низких?
Можно ли число 1/10 представить в виде произведения десяти положительных правильных дробей?
В прямоугольной таблице m строк и n столбцов (m < n). В некоторых клетках таблицы стоят звёздочки, так что в каждом столбце стоит хотя бы одна звёздочка. Докажите, что существует хотя бы одна такая звёздочка, что в одной строке с нею находится больше звёздочек, чем с нею в одном столбце.
В центре куба
сидит жук. Доказать, что он, переползая
через ребра, не сможет обойти все кубики
по одному разу.
Доказать, что 776776 + 777777 + 778778 делится на 3.
Когда встречаются два жителя Цветочного города, один отдает другому монету в 10 копеек, а тот ему - 2 монеты по 5 копеек. Могло ли случиться так, что за день каждый из 1990 жителей города отдал ровно 10 монет?
Известно, что p > 3 и p – простое число. Как вы думаете:
а) будут ли чётными числа p + 1 и p – 1;
б) будет ли хотя бы одно из них делиться на 3?
Найдите два таких простых числа, что и их сумма, и их разность – тоже простые числа.
Углы треугольника ABC связаны соотношением 3α + 2β = 180°. Докажите, что a² + bc = c².
Найти остаток 1316 – 255·515 от деления на 3.
а) В группе из четырёх человек, говорящих на разных языках, любые трое могут общаться (возможно, один переводит двум другим).
Доказать, что их можно разбить на пары, в каждой из которых имеется общий язык.
б) То же для группы из 100 человек.
в) То же для группы из 102 человек.
Дан отрезок AB. Найдите геометрическое место вершин C остроугольных треугольников ABC.
|
|
 |
Условие
Дан отрезок AB. Найдите геометрическое место вершин C остроугольных треугольников ABC.
Решение
Возьмём окружность S с диаметром AB и проведём в точках A и B касательные lA и lB к этой окружности. Искомые точки лежат строго внутри полосы, ограниченной прямыми lA и lB, и строго вне окружности S.
