Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Найти геометрическое место четвёртых вершин прямоугольников, три вершины которых лежат на двух данных концентрических окружностях, а стороны параллельны двум данным прямым.
К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трёх исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.
Известно, что в кодовом замке исправны только кнопки с номерами 1, 2, 3, а код этого замка трёхзначен и не содержит других цифр. Написать последовательность цифр наименьшей длины, наверняка открывающую этот замок (замок открывается, как только подряд и в правильном порядке нажаты все три цифры его кода).
Из всех параллелограммов данной площади найти тот, у которого наибольшая диагональ минимальна.
Разрежьте квадрат на 6 частей и сложите из них три одинаковых квадрата.
В треугольник вписана окружность, и точки касания её со сторонами треугольника соединены между собой. В полученный таким образом треугольник вписана новая окружность, точки касания которой со сторонами являются вершинами третьего треугольника, имеющего те же углы, что и первоначальный треугольник. Найти эти углы.
В прямоугольной таблице произведение суммы чисел любого столбца на сумму чисел
любой строки равно числу, стоящему на их пересечении.
Доказать, что сумма всех чисел в таблице равна единице, или все числа равны нулю.
|
|
 |
Условие
В прямоугольной таблице произведение суммы чисел любого столбца на сумму чисел
любой строки равно числу, стоящему на их пересечении.
Доказать, что сумма всех чисел в таблице равна единице, или все числа равны нулю.
Решение
Пусть x1, ..., xn – суммы чисел в строках, y1, ..., ym – суммы чисел в столбцах. На пересечении i-й строки и j-го столбца стоит число xiyj. Поэтому сумма чисел в i-й строке равна xiy1 + xiy2 + ... + xiym. С другой стороны, эта сумма равна xi. Таким образом, xi = xi(y1 + y2 + ... + ym). Сумма y1 + y2 + ... + ym – это как раз сумма всех чисел в таблице. Если она не равна 1, то xi = 0. Аналогично доказывается, что в таком случае все числа x1, ..., xn, y1, ..., ym равны 0. Но тогда и все числа xiyj равны 0.
