Версия для печати
Убрать все задачи

---

В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки H_a, H_c – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно, прямые AH_c, CH_a пересекаются в точке K. Докажите, что  ∠MBK = 90°.

   Решение

---

Постройте вписанно-описанный четырёхугольник по двум противоположным вершинам и центру вписанной окружности.

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки на данной прямой MN постройте точку, из которой данный отрезок AB был бы виден под данным углом.

   Решение

---

На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает n точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (n+1)² попыток?

   Решение

---

На стороне треугольника взяты четыре точки K, P, H и M, являющиеся соответственно серединой этой стороны, основанием биссектрисы противоположного угла треугольника, точкой касания с этой стороной вписанной в треугольник окружности и основанием соответствующей высоты. Найдите KH, если KP = a, KM = b.

   Решение

---

В ромб вписана окружность. На какие четыре части она делится точками касания сторон, если острый угол ромба равен 37^o?

   Решение

---

Докажите, что  a² + b² + c² - (a - b)² - (b - c)² - (c - a)² 4S.

   Решение

---

Три равные окружности касаются друг друга. Из произвольной точки окружности, касающейся внутренним образом этих окружностей, проведены касательные к ним. Доказать, что сумма длин двух касательных равна длине третьей.

   Решение

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Три равные окружности касаются друг друга. Из произвольной точки окружности, касающейся внутренним образом этих окружностей, проведены касательные к ним. Доказать, что сумма длин двух касательных равна длине третьей.

Решение

Пусть окружности S₁ и S₂ касаются внешним образом в точке A. Пусть, далее, O₁ и O₂ — их центры, R₁ и R₂ — их радиусы. Докажем, что длина касательной, проведённой из точки B окружности S₁ к окружности S₂, равна AB. Действительно, пусть X — вторая точка пересечения прямой AB с окружностью S₂. Тогда квадрат длины касательной равен BX ^. BA. Ясно, что AB : BX = O₁A : O₁O₂, поэтому

Ясно, что точки касания трёх равных окружностей с четвёртой окружностью образуют правильный треугольник. Поэтому остаётся доказать, что одно из расстояний от произвольной точки описанной окружности правильного треугольника до его вершины равно сумме двух других расстояний. Пусть точка M лежит на дуге AB описанной окружности правильного треугольника ABC. Тогда BMC = BAC = 60^o. Поэтому если на отрезке MC мы возьмём точку M' так, что MM' = MB, то треугольник MBM' будет правильным. При повороте на 60^o с центром B треугольник BMA переходит в треугольник BM'C, поэтому M'C = MA. Следовательно, MC = MM' + M'C = MB + MA.

Источники и прецеденты использования