Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Основание CD, диагональ BD и боковая сторона AD трапеции ABCD равны p. Боковая сторона BC равна q. Найдите диагональ AC.
Даны две окружности радиусов R и r, одина вне другой. К ним проведены две общие внешние касательные. Найдите их длину (между точками касания), если их продолжения образуют прямой угол. (R > r).
Сумму цифр числа a обозначим через S(a). Доказать, что если S(a) = S(2a), то число a делится на 9.
Имеется n случайных векторов вида (y1, y2, y3), где ровно одна случайная координата равна 1, остальные равны 0. Их складывают. Получается случайный вектор a с координатами (Y1, Y2, Y3).
а) Найдите математическое ожидание случайной величины a².
б) Докажите, что
Пусть $E$ – одна из двух точек пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $AB$ – общая внешняя касательная этих окружностей, прямая $CD$ параллельна $AB$, причем точки $A$ и $C$ лежат на $\omega_1$, а точки $B$ и $D$ – на $\omega_2$. Окружности $ABE$ и $CDE$ повторно пересекаются в точке $F$. Докажите, что $F$ делит одну из дуг $CD$ окружности $CDE$ пополам.
Докажите, что если α < β и αβ ≠ 0, то Sα(x) ≤ Sβ(x).
Определение средних степенных Sα(x) можно посмотреть в справочнике.
В стране Ориентация на всех дорогах введено одностороннее движение, причём из каждого города в любой другой можно добраться, проехав не более чем по двум дорогам. Одну дорогу закрыли на ремонт так, что из каждого города по-прежнему можно добраться до любого другого. Докажите, что для каждых двух городов это можно сделать, проехав не более чем по трём дорогам.
Доказать, что при любой расстановке знаков "+" и "−" у нечётных
степеней x выполнено неравенство
x2n ± x2n–1 + x2n–2 ± x2n–3 + ... + x4 ± x³ + x² ± x + 1 > ½ (x – произвольное действительное число, а n – натуральное).
В стране каждые два города соединены дорогой с односторонним движением.
Доказать, что существует город, из которого можно проехать в любой другой не более чем по двум дорогам.
В турнире каждый шахматист половину всех очков набрал во встречах с участниками, занявшими три последних места.
Сколько всего человек принимало участие в турнире?
|
|
 |
Условие
В турнире каждый шахматист половину всех очков набрал во встречах с участниками, занявшими три последних места.
Сколько всего человек принимало участие в турнире?
Решение
Будем для краткости называть игроков, занявших последние три места, плохими, а всех остальных – хорошими. Плохие игроки сыграли между собой три партии, и в этих партиях было набрано в общей сложности три очка. По условию, это – половина всех очков, набранных плохими игроками; значит, в играх с хорошими плохие игроки набрали ещё 3 очка. Но всего между плохими и хорошими игроками было сыграно 3(n – 3) партий и разыграно столько же очков (n – общее число игроков). Из них 3 очка взяли плохие игроки, а остальные очки – хорошие. Следовательно, в партиях с плохими игроками хорошие игроки завоевали 3(n – 3) – 3 = 3(n – 4) очков, и, значит, столько же очков хорошие игроки набрали (в общей сложности) в играх друг с другом. Между хорошими игроками было проведено ½ (n – 3)(n – 4) партий и разыграно столько же очков. Следовательно, (n – 3)(n – 4) = 6(n – 4), откуда n = 4 или n = 9. Первый вариант должен быть исключён, так как в этом случае единственный хороший игрок набрал бы 0 очков, то есть не был бы первым. Остаётся одно решение: n = 9.
Для девяти игроков такое могло случиться: пример соответствующей турнирной таблицы приведён ниже.
Ответ
9 человек.
