Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Рассматривается последовательность 1, ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙, 1/7, ... Существует ли арифметическая прогрессия
а) длины 5;
б) сколь угодно большой длины,
составленная из членов этой последовательности?
Каждая из двух равных окружностей ω1 и ω2 проходит через центр другой. Треугольник ABC вписан в ω1, а прямые AC, BC касаются ω2.
Докажите, что cos∠A + cos∠B = 1.
Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.
Даны две концентрические окружности S1 и S2. С помощью циркуля и линейки проведите прямую, на которой эти окружности высекают три равных отрезка.
Центр круга – точка с декартовыми координатами (a, b). Известно, что начало координат лежит внутри круга. Обозначим через S+ общую площадь частей круга, состоящих из точек, обе координаты которых имеют одинаковый знак; а через S– – площадь частей, состоящих из точек с координатами разных знаков. Найдите величину S+ – S–.
Пять отрезков провели (не отрывая карандаша от бумаги) так, что получилась пятиугольная звезда, разделённая проведёнными отрезками на пять треугольников и пятиугольник. Оказалось, что все пять треугольников равны. Обязательно ли пятиугольник правильный?
Турнир Городов проводится раз в год. Сейчас год проведения осеннего тура делится на номер турнира: 2021:43 = 47. Сколько ещё раз человечество сможет наблюдать это удивительное явление?
Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого
является число +
.
Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике A1A2...A12 диагонали A1A5, A2A6, A3A8 и A4A11 пересекаются в одной точке.
Доказать, что можно так расположить числа от 1 до n² в таблицу n×n, чтобы суммы чисел каждого столбца были равны.
|
|
 |
Условие
Доказать, что можно так расположить числа от 1 до n² в таблицу n×n, чтобы суммы чисел каждого столбца были равны.
Решение
Сначала расставим числа так: в первую строчку 1, 2, ..., n, во вторую
n + 1, n + 2, ..., n + n, и т.д. Тогда в k-й строчке будут стоять числа (k – 1)n + 1,
(k – 1)n + 2, ..., (k – 1)n + n, а значит, в j-м столбце – j, n + j, ..., (n – 1)n + j. Эта таблица ещё не удовлетворяет условию задачи, поэтому в каждой сточке этой таблицы сдвинем все числа по кругу на номер строки. Теперь сумма чисел в каждом столбце представима в виде n + 2n + ... + (n – 1)n + 1 + 2 + ... + n, поскольку в эту сумму входит ровно по одному числу из каждого столбца и каждой строки первоначальной таблицы.
