Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
Прямая, параллельная стороне BC треугольника ABC, пересекает стороны AB и AC в точках P и Q соответственно. Внутри треугольника APQ взята точка M. Отрезки MB и MC пересекают отрезок PQ в точках E и F соответственно. Пусть N – вторая точка пересечения описанных окружностей ω1 и ω2 треугольников PMF и QME. Докажите, что точки A, M и N лежат на одной прямой.
Доказать, что на сфере нельзя так расположить три дуги больших окружностей в 300o каждая, чтобы никакие две из них не имели ни общих точек, ни общих концов.
Примечание: Большая окружность – это окружность, полученная в сечении сферы плоскостью, проходящей через ее центр.
|
|
 |
Условие
Доказать, что на сфере нельзя так расположить три дуги больших окружностей в 300o каждая, чтобы никакие две из них не имели ни общих точек, ни общих концов.
Примечание: Большая окружность – это окружность, полученная в сечении сферы плоскостью, проходящей через ее центр.
Решение
Предположим, что требуемое расположение возможно. Проведем большие окружности сферы, содержащие данные дуги. Пусть A, B, C, A', B', C' – их попарные точки пересечения (если некоторые из них совпадают, решение аналогично), причем пары точек A и A', B и B', C и C' являются диаметрально противоположными. Поскольку каждая из дуг имеет величину более 180°, то она проходит хотя бы через одну точку из каждой пары, а значит хотя бы через две точки из указанных шести. Поэтому, если наши дуги не пересекаются, то каждая из них проходит ровно через две не противоположные точки из данных шести. Без ограничения общности можно считать, что они проходят через A и B', B и C', C и A' соответственно. Будем обозначать через XY дугу большой окружности между точками X и Y, меньшую 180°. Поскольку первая из наших дуг проходит только через A и B', то она не пересекается с A'B. Значит, A'B<360°-300°=60°. Поэтому AB=180°-A'B>120°. Аналогично, BC>120° и CA>120°. Тогда сумма плоских углов трехгранного угла OABC (O – центр сферы) больше 360°, чего не может быть. Итак, расположить дуги требуемым образом нельзя.
