Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
Существует ли такой выпуклый 1976-гранник, который обладал бы следующим свойством: при произвольной расстановке стрелок на концах его рёбер сумма полученных векторов отлична от 0?
Доказать, что при любом целом положительном n сумма
больше ½.
Найдите радиус наибольшей окружности, касающейся изнутри двух пересекающихся окружностей с радиусами R и r, если расстояние между их центрами равно a
(a < R + r).
Докажите, что множество простых чисел вида p = 6k + 5 бесконечно.
Дан многочлен с целыми коэффициентами. В трёх целых точках он принимает
значение 2.
Доказать, что ни в какой целой точке он не принимает значение 3.
В круге с центром O проведена хорда AB. Вычислите площадь получившегося сегмента, если ∠AOB = α, а радиус круга равен r.
Существует ли такое натуральное число n, что сумма цифр числа n2 равна 100?
Доказать, что число 100...001, в котором 21974 + 21000 – 1 нулей, составное.
В треугольнике ABC проведены медианы AD и BE. Углы CAD и CBE равны 30o. Доказать, что треугольник ABC правильный.
К двум окружностям, касающимся извне, проведены общие внешние касательные и точки касания соединены между собой. Доказать, что в полученном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
Решить в целых числах уравнение x + y = x² – xy + y².
Имеется 1000 монет, среди них 0, 1 или 2 фальшивые. Известно, что фальшивые монеты имеют одинаковую массу, отличную от массы нефальшивых монет. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, есть ли фальшивые монеты и легче они или тяжелее нормальных? (Количество монет определять не надо.)
Доказать, что в десятичной записи чисел 2n + 1974n и 1974n содержится одинаковое количество цифр.
|
|
 |
Условие
Доказать, что в десятичной записи чисел 2n + 1974n и 1974n содержится одинаковое количество цифр.
Решение
Предположим, что 1974n < 10k ≤ 2n + 1974n. Тогда k ≥ 3n, поскольку 1974n > 103n. После деления на 2n приходим к неравенству
987n < 2k−n·5k ≤ 987n + 1. Число 2k–n·5k целое, поэтому 2k–n·5k = 987n + 1. Если n ≥ 2, то k − n ≥ 2n > 3, поэтому 2k–n·5k делится на 8. С другой стороны, 987 при делении на 8 даёт остаток 3, поэтому 987n + 1 при делении на 8 даёт остаток 4 или 2. Противоречие.
