Версия для печати
Убрать все задачи

---

Рассматривается последовательность  1, ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙, ¹/₇, ...  Существует ли арифметическая прогрессия
  а) длины 5;
  б) сколь угодно большой длины,
составленная из членов этой последовательности?

   Решение

---

Каждая из двух равных окружностей ω₁ и ω₂ проходит через центр другой. Треугольник ABC вписан в ω₁, а прямые AC, BC касаются ω₂.
Докажите, что  cos∠A + cos∠B = 1.

   Решение

---

Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.

   Решение

---

Даны две концентрические окружности S₁ и S₂. С помощью циркуля и линейки проведите прямую, на которой эти окружности высекают три равных отрезка.

   Решение

---

Центр круга – точка с декартовыми координатами  (a, b).  Известно, что начало координат лежит внутри круга. Обозначим через S⁺ общую площадь частей круга, состоящих из точек, обе координаты которых имеют одинаковый знак; а через S^– – площадь частей, состоящих из точек с координатами разных знаков. Найдите величину  S⁺ – S^–.

   Решение

---

Пять отрезков провели (не отрывая карандаша от бумаги) так, что получилась пятиугольная звезда, разделённая проведёнными отрезками на пять треугольников и пятиугольник. Оказалось, что все пять треугольников равны. Обязательно ли пятиугольник правильный?

   Решение

---

Турнир Городов проводится раз в год. Сейчас год проведения осеннего тура делится на номер турнира:  2021:43 = 47.  Сколько ещё раз человечество сможет наблюдать это удивительное явление?

   Решение

---

Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число   + .

   Решение

---

Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике A₁A₂...A₁₂ диагонали A₁A₅, A₂A₆, A₃A₈ и A₄A₁₁ пересекаются в одной точке.

   Решение

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике A₁A₂...A₁₂ диагонали A₁A₅, A₂A₆, A₃A₈ и A₄A₁₁ пересекаются в одной точке.

Решение

Рассмотрим треугольник A₂A₄A₈. Прямые A₂A₆, A₃A₈ и A₄A₁₁ — биссектрисы его углов. Точно так же прямые A₃A₈, A₅A₁ и A₁₁A₄ – биссектрисы углов треугольника A₃A₅A₁₁. Отсюда следует, что диагонали A₁A₅, A₂A₆, A₃A₈ и A₄A₁₁ проходят через одну точку.

Замечания

В "Задачнике Кванта" задача была в следующей формулировке:
  Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике существуют четыре диагонали, не проходящие через центр многоугольника и пересекающиеся в одной точке.

Источники и прецеденты использования